【正文】 4 依測(cè)度收斂定義：設(shè)是上的一列有限的可測(cè)函數(shù)，若有上有限的可測(cè)函數(shù)滿足下列關(guān)系：對(duì)任意有，則稱函數(shù)列依測(cè)度收斂于，或度量收斂于，記為：用說(shuō)法：對(duì)任意及，存在正數(shù)，使時(shí)，注：依測(cè)度收斂推不出幾乎處處收斂幾乎處處收斂的函數(shù)列也可以不是依測(cè)度收斂的例：依測(cè)度收斂而處處不收斂的函數(shù)列.取，將等分，定義兩個(gè)函數(shù)：然后將四等分、八等分，對(duì)每個(gè)，作個(gè)函數(shù)：把先按后按的順序逐個(gè)排成一列：.因?yàn)閷?duì)任何，或是空集（當(dāng)），或是（當(dāng)），所以（當(dāng)時(shí)，左端為0）.由于當(dāng)趨于時(shí)，.由此：，即，對(duì)任何點(diǎn)，無(wú)論多么大，總存在，使，因而，換言之，對(duì)任何，在中必有兩個(gè)子列，一個(gè)恒為1，另一個(gè)衡為零，所以序列（1）在上任何點(diǎn)都是發(fā)散的.反過(guò)來(lái)，.例2 取，做函數(shù)列：1,2,….,.這說(shuō)明不依測(cè)度收斂于1.盡管兩種收斂區(qū)別很大，一種收斂不能包含另一種收斂，但是下列定理反映出它們還是有密切聯(lián)系。5（* *）式，在上不收斂于的點(diǎn)集.由假定，因此對(duì)任意固定的，由于，而，因此由第三章167。4 不可測(cè)集定理 對(duì)任何集，具有，且當(dāng)為可測(cè)時(shí)，也為可測(cè)的.定理說(shuō)明，集經(jīng)過(guò)平移后，它的外測(cè)度不變，而可測(cè)集經(jīng)過(guò)平移后仍為可測(cè)集（當(dāng)然它的外測(cè)度也不變）.這個(gè)性質(zhì)稱為勒貝格測(cè)度的平移不變性。1中，我們?cè)诩俣M足勒貝格測(cè)度公里的集合函數(shù)存在的前提下找到了的一個(gè)上界，但是外側(cè)度只具有次可數(shù)可加性，在中的確存在互不相交的一列集合（例如用本章167。數(shù)學(xué)家勒貝格用可數(shù)可加性考察如下的“測(cè)度”：勒貝格測(cè)度公理：對(duì)于實(shí)數(shù)直線上的一部分集合族，使得每個(gè)，都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù),滿足⑴（非負(fù)性） ；⑵（可列可加性） 如果兩兩不相交，那么；⑶（正則性） .中有理數(shù)集是可數(shù)個(gè)點(diǎn)的集合，；而中無(wú)理數(shù)集是不可數(shù)的，所以其勒貝格測(cè)度就不會(huì)是了（應(yīng)該是）.取包含的那些開(kāi)集的測(cè)度的下確界，稱之為外測(cè)度.，就稱可測(cè).167。而且證明：若，. 由得 設(shè)，若，則 .若，令是最小自然數(shù)使，即而這樣，所以，求出集列的上限集和下限集.解：設(shè)，則，使，因此時(shí)，即，所以屬于下標(biāo)比大的一切偶指標(biāo)集，從而屬于無(wú)限多，得，又顯然，所以. 若有，則，使，此不可能，所以. .證明：設(shè)，則，使一切，所以，則有，使，即對(duì)任意，有，所以.，并寫(xiě)出這個(gè)一一對(duì)應(yīng)的解析表達(dá)式.解：對(duì)任意，.就是和的一一對(duì)應(yīng).12．證明：將球面去掉一點(diǎn)以后，余下的點(diǎn)所成的集合和整個(gè)平面上的點(diǎn)所成的集合是對(duì)等的.證明：只要證明球面去掉點(diǎn)以后與平面對(duì)等即可.由此可由投影來(lái)做到：對(duì)任意 .易驗(yàn)證是一一對(duì)應(yīng)，因此與是對(duì)等的.：所有系數(shù)為有理數(shù)的多項(xiàng)式組成以可數(shù)集.證明：設(shè)是次有理系數(shù)多項(xiàng)式的全體，則.由個(gè)獨(dú)立的記號(hào)所決定，即次多項(xiàng)式的個(gè)有理系數(shù)，其中首項(xiàng)系數(shù)可取除以外的一切有理數(shù)，其他系數(shù)可取一切有理數(shù)，因此每個(gè)記號(hào)獨(dú)立的跑遍一個(gè)可數(shù)集，因此由第一節(jié)定理六，又由第四節(jié)定理四。4定理2，剩下的必是一個(gè)閉集（它至少包含各鄰接區(qū)間的端點(diǎn)及其聚點(diǎn)），稱它為康托爾三分集，記為P。5 康托爾三分集（康托爾三分集）將閉區(qū)間 三等分，去掉中間的開(kāi)區(qū)間 。 由孤立點(diǎn)的定義很容易知道，直線上點(diǎn)集A的孤立點(diǎn)必是包含在A的余集中的某兩個(gè)開(kāi)區(qū)間的公共端點(diǎn)。既然閉集的余集是開(kāi)集，你們從開(kāi)集的構(gòu)造可以引入余區(qū)間的概念。這就是說(shuō)是G的構(gòu)成區(qū)間。先證，任意取，不妨設(shè)。因?yàn)镚是開(kāi)集，不會(huì)空。再由第一章167。（1） 開(kāi)集G的任何兩個(gè)不同的構(gòu)成區(qū)間必不相交。如果開(kāi)區(qū)間，而且端點(diǎn)不屬于，那么稱為的構(gòu)成區(qū)間。雖然開(kāi)集一般來(lái)說(shuō)不一定是開(kāi)區(qū)間，但同一看出非空開(kāi)集是一系列開(kāi)區(qū)間的和集。表面上看倆，既然一個(gè)完備集合一方面是閉集，而另一方面每一點(diǎn)又都是聚點(diǎn)，似乎它就會(huì)鋪滿空間的一小塊，但這是一種錯(cuò)覺(jué)。3）定義4 設(shè) 如果 就稱 是自密集，換句話說(shuō)，當(dāng)集合中每點(diǎn)都是這個(gè)集的聚點(diǎn)時(shí)，這個(gè)集就是自密集。覆蓋了 ，定理得證；否則從這m個(gè)開(kāi)集中去掉，因?yàn)榕c不相交，所以剩下的 m1個(gè)開(kāi)集仍然覆蓋了.定義3 設(shè)是度量空間中一集合，是中任一族覆蓋了 的開(kāi)集，如果必可從中選出有限個(gè)開(kāi)集仍然覆蓋, 則稱為中的緊集.由定理5知 中的有界閉集必為緊集，反之我們有如下定理.定理6 設(shè)是中的緊集，則是中的有界閉集證明 設(shè)點(diǎn),對(duì)于中的任意一點(diǎn),由于 ，由鄰域性質(zhì)，存在，使得 顯然開(kāi)集族覆蓋了,由于是緊集，因此存在有限個(gè)鄰域 (定理5（海涅—博雷爾有限覆蓋定理） 設(shè)是一個(gè)有界閉集，是一族開(kāi)集 ，它覆蓋了（即）則中一定存在有限多個(gè)開(kāi)集）， 每個(gè)是開(kāi)集，但不是開(kāi)集,定理4 任意多個(gè)閉集之交仍為閉集，有限多個(gè)閉集之并仍為閉集. (閉集的任意交，有限并仍為閉集)證明 （利用德摩根公式）設(shè)（或1,2，為開(kāi)集，由167。這樣，就不可能是的內(nèi)點(diǎn)，從而不屬于（因 是開(kāi)集），也就是（2）要證是開(kāi)集，即要證中的每一點(diǎn)均為 中的內(nèi)點(diǎn)（反證）設(shè)是閉集，對(duì)任一，假如不是的內(nèi)點(diǎn)，則 的任一鄰域內(nèi)至少有一個(gè)屬于的點(diǎn)，而且這點(diǎn)又必異于 ，這樣 就是的聚點(diǎn)（167。（沒(méi)有聚點(diǎn)）。3 開(kāi)集，閉集，完備集本節(jié)著重討論兩類特殊點(diǎn)集。2例12中的（1）（2）式 和分別可寫(xiě)成和 由此，我們?cè)俅慰吹胶瘮?shù)列的極限過(guò)程，怎樣用集合運(yùn)算來(lái)描述，這在以后的各章中都有重要應(yīng)用。w 定理6告訴我們沒(méi)有一個(gè)最大的基數(shù)，從而無(wú)線集合的不同基數(shù)也有無(wú)線多個(gè)。因是由那些的作成的，可見(jiàn)。證明：我們先證明不能與對(duì)等。又稱為點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo).定理5 n維歐幾里得空間的級(jí)數(shù)為證明：若中點(diǎn)對(duì)應(yīng)于中點(diǎn)時(shí)， 推論2 設(shè)有個(gè)(表示連續(xù)基數(shù))集的并集，若每個(gè)集的基數(shù)都是,則其并集的基數(shù)也是。定理2 任意區(qū)間, ，,，均具有連續(xù)基數(shù)（這里）。為此利用對(duì)角線上的數(shù)字 作一個(gè)無(wú)窮小數(shù)如下則此無(wú)窮小數(shù)的各位數(shù)字既不全是9，也不以0為循環(huán)節(jié)，因此必是中某一實(shí)數(shù)a的正規(guī)表示，但從這個(gè)無(wú)窮小數(shù)的作法可知，它與每一個(gè)的正規(guī)表示都不同（因?yàn)橹辽俚趎位小數(shù)不同），因此,從而與假設(shè)矛盾。3例4知，我們只要證明不是可數(shù)集就好了。下面我們將看到事實(shí)并非如此。（目的：只需證,B與C的子集對(duì)等，C與B的子集對(duì)等。因?yàn)槭茿的子集，是的子集，所以并且.（） 伯恩斯坦定理證明示意圖照這樣進(jìn)行下去，我們找到一列子集：。定理2 【伯恩施坦（Bernstein）定理】 設(shè)A,B是兩個(gè)非空集合。對(duì)等關(guān)系顯然有一下性質(zhì)：定理1 對(duì)任意集合A,B,C,均有： （1）（反射性） 。例4還表明，無(wú)限長(zhǎng)的“線段”也不比有限長(zhǎng)的線段有“更多的點(diǎn)”。例2{正奇數(shù)全體}{正偶數(shù)全體}.事實(shí)上,只要令即可.例3{正整數(shù)全體}{正偶數(shù)全體}.這只需令,x是正整數(shù).例4 區(qū)間和全體實(shí)數(shù)對(duì)等,只需對(duì)每個(gè),令。集合可分為兩類有限集合和無(wú)限集合，空集與只含有有限多個(gè)元素的集合稱為有限集，其余的稱為無(wú)限集。 請(qǐng)讀者注意：我們?cè)鯓影衙枋龊瘮?shù)列性質(zhì)的語(yǔ)言，轉(zhuǎn)換為集合語(yǔ)言。綜合起來(lái)，便是等式成立。例1設(shè)和是定義在E上的函數(shù)，則對(duì)任意 例2. 例3若記例4 若是一族開(kāi)區(qū)間，而，則存在使得 （有限覆蓋定理）例5若是定義在E上的函數(shù)，則集合的交集 設(shè)A,B是任意兩個(gè)集合，由一切既屬于A又屬于B的元素組成的集合C稱為A和B的交集或積集，簡(jiǎn)稱為交或積，記作,它可以表示為 交集的概念也可以推廣到任意多喝集合的情形設(shè) 是任意集族，其中是在固定指標(biāo)集中變化的指標(biāo)；則由一切的所有元素組成的集合稱為這族集合的交集或積，記為，它可以表示為： 若 ，說(shuō)明所有的沒(méi)有公共的元素。2 集合的運(yùn)算從給定的一些集合出發(fā)，我們可以通過(guò)所謂集合的運(yùn)算做出一些新的集合，其中最常見(jiàn)的運(yùn)算有并、交、減法三種，實(shí)變函數(shù)中大量使用無(wú)限并和無(wú)限交的運(yùn)算。 例2 全體自然數(shù)例3 0和1之間的實(shí)數(shù)全體例4 上的所有實(shí)函數(shù)全體例5 A,B,C三個(gè)字母構(gòu)成的集合例6 平面上的向量全體全體高個(gè)子并不構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)橐粋€(gè)人究竟算不算高個(gè)子并沒(méi)有明確的界限，有時(shí)難以判斷他是否屬于這個(gè)集合。167。第一章 集合早在中學(xué)里我們就已經(jīng)接觸過(guò)集合的概念，以及集合的并、交、補(bǔ)的運(yùn)算，因此這章的前兩節(jié)具有復(fù)習(xí)性質(zhì)，不過(guò)，無(wú)限多個(gè)集合的并和交，是以前沒(méi)有接觸過(guò)的，它是本書(shū)中常常要用到，是學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)論時(shí)的一項(xiàng)基本功。1 集合的表示集合是數(shù)學(xué)中所謂原始概念之一，不能用別的概念加以定義，就目前來(lái)說(shuō)，我們只要求掌握一下樸素的說(shuō)法：在一定范圍內(nèi)的個(gè)體事物的全體，當(dāng)將它們看作一個(gè)整體時(shí)，我們把這個(gè)整體稱作一個(gè)集合，其中每一個(gè)個(gè)體事物叫做該集合的元素。一個(gè)具體集合A可以通過(guò)例舉其元素來(lái)定義，可記也可以通過(guò)該集合中的各個(gè)元素必須且只需滿足的條件p來(lái)定義，并記為A={x：x滿足條件p}如例1可以表示為｛4，7，8，3｝例3可以表示為設(shè)A是一個(gè)集合，x是A的元素，我們稱x屬于A，記作，x不是A的元素，記作。 集合的并集設(shè)A,B是任意兩個(gè)集合，設(shè)C由一切或?qū)儆贏或?qū)儆贐的元素所組成，則我們稱C為A,B的并集或和集，簡(jiǎn)稱為并或和，記為它可以表示為 。習(xí)慣上，當(dāng)為有限集時(shí)，寫(xiě)成,而寫(xiě)成 例若是定義在E上的函數(shù)，則 例若則存在唯一的使 （區(qū)間套定理）。這表面，集合運(yùn)算的分配律，在無(wú)限并的情況下依然成立 集合的差集和余集若A和B是集合，稱為A和B是差集，A\B也可以記為AB，： 當(dāng)我們討論集合都是某個(gè)大集合S的子集時(shí)，我們稱為A的余集，并記為在歐式空間中，寫(xiě)成當(dāng)全集確定時(shí)，顯然因此研究差集運(yùn)算可以通過(guò)研究余集運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。例12 設(shè)是定義在E上的函數(shù)列，若x是使收斂與0的點(diǎn)，則對(duì)任意的，存在,使得對(duì)任意即 用德摩根公式 三重的交并運(yùn)算，在以后各章會(huì)多次出現(xiàn)集合列的上極限和下極限 設(shè)是任意一列集合，由屬于上述集合列中無(wú)限多個(gè)集合的那種元素的全體所組成的集合稱為這一集合列的上極限或上限極，記作或它表示為 讀者不難證明， 對(duì)集合列那種有限個(gè)下標(biāo)外，屬于集合列中每個(gè)集合的元素全體所組成的集合稱這個(gè)集合列的下限集或下極限，記為或者顯然例13 設(shè)是如下一列點(diǎn)集 我們來(lái)的上下極限。如通常所認(rèn)為的那樣，空集所含元素的個(gè)數(shù)為0，而非空有限集的典型特性應(yīng)該是具有一個(gè)標(biāo)志其元素個(gè)數(shù)的正整數(shù)，而確定非空有限集A中元素個(gè)數(shù)的方法是把A中元素一個(gè)一個(gè)的“數(shù)”.這等于將A 中各元素按任一方式給它們編號(hào): 其中時(shí), 和是不同的元素,這樣就A和正整數(shù)的某一截?cái)嘁粚?duì)一地對(duì)應(yīng)起來(lái),最后對(duì)應(yīng)的一個(gè)正整數(shù)n顯然就是A的元素”個(gè)數(shù)”.有此不難推知,兩個(gè)非空有限集合元素個(gè)數(shù)相同的充要條件,是它們能夠和正整數(shù)數(shù)列的同一截?cái)嘁灰粚?duì)應(yīng),如果一個(gè)每個(gè)人都有一個(gè)座位,而且每個(gè)座位上都有且只有一個(gè)人,那么我們根本不用一個(gè)一個(gè)地去”數(shù)”,便立刻知道教室中人數(shù)和座位數(shù)是相同的.上述的討論雖然只適用與非空有限集,..定義1 設(shè)A,B為兩個(gè)非空集合,如果有某一法則,使每個(gè)有唯一確定的和它對(duì)應(yīng),則稱為A到B內(nèi)的映射,記為. 當(dāng)映射使和對(duì)應(yīng)時(shí), 稱為在映射下的像,記作,也可表示為對(duì)于任一固定的y,記作,設(shè)C是A的子集,C中所有元素的像的全體,記作: ,稱它是集C在之下的像, 稱為映射的值域,記作:.記憶方法： 映射 函數(shù) 函數(shù)有反函數(shù)定義2設(shè)A和B是非空集合,若存在從集合A 到B上的一一映射,即滿足:(1) 單射:對(duì)任意,若,使得。例5設(shè)A與B是兩個(gè)同心圓周上的點(diǎn)集（），對(duì)A上每一點(diǎn)x與同心圓的連線與B相交且只交于一點(diǎn)。BAo例3和例4說(shuō)明，一個(gè)無(wú)限集可以和它的一個(gè)真子集對(duì)等（可以證明，這一性質(zhì)正是無(wú)限集的特征，常用來(lái)作為無(wú)限集的定義）。 (2) (對(duì)稱性)。如果A對(duì)等與B的一個(gè)子集，B又對(duì)等與A的一個(gè)子集，那么A對(duì)等于B.注 利用基數(shù)的說(shuō)法是：設(shè).證明 有假設(shè)，存在A到B得子集上的一一映射及B到A得子集上的一一映射。于是在同一映射之下，有這樣我們可以把A分解為一系列互不相交的子集的并：其中,類似地，其中，易知,有因?yàn)橛成涫且灰挥成?，容易看出：，顯然，我們可以把A及的上述分解寫(xiě)成它們的對(duì)應(yīng)項(xiàng)在映射之下是對(duì)等的，從而有,而,所以,注意：這一定理給我們提供了一個(gè)判定兩個(gè)集合對(duì)等的有力工具。）證明：(1) 且,是A的子集B(記為)對(duì)等，又,則A的子集與C的子集對(duì)等，即得到(2)且，.終上所述，得到，從而.167。不是可數(shù)集合的無(wú)限集合我們稱為不可數(shù)集合。首先中每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以唯一地表示為十進(jìn)位無(wú)窮小數(shù)： 的形式，其中各是0，1，9中的一個(gè)數(shù)字，不全為9，且不以0為循環(huán)節(jié)，我們稱實(shí)數(shù)的這種表示為一個(gè)正規(guī)表示。因此是不可數(shù)集合。分析：①∵，∴的基數(shù)為 ②則的基數(shù)為 ③則的基數(shù)也為定理3 設(shè)是一列互不相交的集合，它們的基數(shù)都是，則的基數(shù)也是證明：設(shè)則 (m≠n),但，故,從而于是由定理2即得。事實(shí)上，對(duì)于每一個(gè)被并的集，使之與平面上平行于軸的直線上全體點(diǎn)所成集合作成一一對(duì)應(yīng)，也就得到所述的并集與平面上全體點(diǎn)所成集合作成了