復變函數論第三版課后習題答案-在線瀏覽
2025-08-12 19:56本頁面
【正文】 = max{N1, N2}，則n N，有n N1且n N2，故有| zn z0 | = | (xn x0) + i (yn y0) | 163。165。 165。165。 165。N+，使得n K，有| zn z0 | e /2．記M = | z1 z0 | + ... + | zK z0 |，則當n K時，有| (z1 + z2 + ... + zn)/n z0 | = | (z1 z0) + (z2 z0) + ... + (zn z0) |/n 163。 M/n + (n K)/n M/n + e /2．因lim n174。 (M/n) = 0，故$L206。 M/n + e /2 e /2 + e /2 = e．所以，lim n174。 (z1 + z2 + ... + zn)/n = z0．(2) 當z0 185。時，結論不成立．這可由下面的反例看出．例：zn = (1)n N+．顯然lim n174。 zn = 165。N+，有(z1 + z2 + ... + z2k)/(2k) = 1/2，因此數列{(z1 + z2 + ... + zn)/n}不趨向于165。證 由于及 有 6. 設| z | = 1，試證：| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 1．(z*表示復數z的共軛)【解】此題應該要求b* z + a* 185。 | z | = | (a* z* + b*) z + b* z | = | b* z + a* |．故| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 1．8. 試證：以z1, z2, z3為頂點的三角形和以w1, w2, w3為頂點的三角形同向相似的充要條件為= 0．【解】兩個三角形同向相似是指其中一個三角形經過(一系列的)旋轉、平移、位似這三種初等幾何變換后可以變成另一個三角形(注意沒有反射變換)．例如我們將采用下述的觀點來證明：以z1, z2, z3為頂點的三角形和以w1, w2, w3為頂點的三角形同向相似的充要條件是：將它們的一對對應頂點都平移到原點后，它們只相差一個位似旋轉．記f1(z) = z z1 (將z1變到0的平移)；f3(z) = z w1 (將0變到w1的平移)；那么，三角形z1z2z3與三角形w1w2w3同向相似219。C\{0}219。C\{0}，使得z0(zk z1) = wk w1，(k = 2, 3)219。 = 0219?！? 0．[證完]9. 試證：四個相異點z1, z2, z3, z4共圓周或共直線的充要條件是 (z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2)為實數．【解】在平面幾何中，共線的四個點A, B, C, D的交比定義為(A, B。) 分兩種情況討論(1) 若(z1 – z4)/(z1 – z2)為實數，則(z3 – z4)/(z3 – z2)也是實數．設(z1 – z4)/(z1 – z2) = t，t206。 kp，Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2)) 185。) 也分兩種情況討論(1) 若z1, z2, z3, z4是共線的，則存在s, t206。R．(2) 若z1, z2, z3, z4是共圓的，若z1, z3在z2, z4所確定的直線的同側，那么，Arg ((z4 – z1)/(z2 – z1)) = Arg ((z4 – z3)/(z2 – z3))因此(z4 – z1)/(z2 – z1) : (z4 – z3)/(z2 – z3)是實數．也就是說(z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2)是實數．若z1, z3在z2, z4所確定的直線的異側，則Arg ((z4 – z1)/(z2 – z1)) + Arg ((z2 – z3)/(z4 – z3)) = (2k + 1)p，故Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z
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