復變函數(shù)習題答案-在線瀏覽
2024-08-05 19:56本頁面
【正文】 半徑為的正向圓周解：(1) 內(nèi)包含了奇點∴(2) 內(nèi)包含了奇點,∴19. 驗證下列函數(shù)為調(diào)和函數(shù).解(1) 設(shè), ∴ 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).(2) 設(shè), ∴ 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù). ,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).:函數(shù),都是調(diào)和函數(shù),但不是解析函數(shù)證明: ∴,從而是調(diào)和函數(shù). ∴,從而是調(diào)和函數(shù).但∵ ∴不滿足CR方程,從而不是解析函數(shù).,求解析函數(shù)(1) (2)解 (1)因為 所以令y=0,上式變?yōu)閺亩?2) 用線積分法，取（x0,y0）為(1,0)，有由，得C=0,其中各不相同，閉路C不通過,證明積分等于位于C內(nèi)的p(z)的零點的個數(shù).證明: 不妨設(shè)閉路C內(nèi)的零點的個數(shù)為k, 其零點分別為(無界區(qū)域的柯西積分公式): 設(shè)f(z)在閉路C及其外部區(qū)域D內(nèi)解析，且，則其中G為C所圍內(nèi)部區(qū)域.證明：在D內(nèi)任取一點Z，并取充分大的R，作圓CR: ，將C與Z包含在內(nèi)則f(z)在以C及為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，依柯西積分公式，有因為 在上解析，且所以，當Z在C外部時，有即設(shè)Z在C內(nèi)，則f(z)=0，即故有：習題四1. 復級數(shù)與都發(fā)散,?為什么?．反例: 發(fā)散但收斂發(fā)散收斂.2. 下列復數(shù)項級數(shù)是否收斂,是絕對收斂還是條件收斂?(1) (2) (3) (4) (5) 解 (1) 因為發(fā)散,所以發(fā)散(2)發(fā)散又因為所以發(fā)散(3) 發(fā)散,又因為收斂,所以不絕對收斂.(4) 因為所以級數(shù)不絕對收斂.又因為當n=2k時, 級數(shù)化為收斂當n=2k+1時, 級數(shù)化為也收斂所以原級數(shù)條件收斂(5) 其中 發(fā)散,收斂所以原級數(shù)發(fā)散.:若,且和收斂,則級數(shù)絕對收斂.證明:設(shè)因為和收斂所以收斂又因為,所以且當n充分大時, 所以收斂而收斂，收斂所以收斂，從而級數(shù)絕對收斂.解 因為部分和，所以，不存在.當而時（即），cosnθ和sinnθ都沒有極限,所以也不收斂．.故當和時, 收斂.=0處收斂而在z=3處發(fā)散.解： 設(shè)，則當時，級數(shù)收斂，時發(fā)散.若在z=0處收斂,則若在z=3處發(fā)散, 則顯然矛盾,所以冪級數(shù)不能在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散?為什么?(1)每一個冪級數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂.(2) 每一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)可能有奇點.答: (1) 不正確,因為冪級數(shù)在它的收斂圓周上可能收斂,也可能發(fā)散.(2) 不正確,因為收斂的冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周內(nèi)是解析的.,求的收斂半徑。當，即，不能趨于零,.當時, ,級數(shù)收斂且.若,對當充分大時,必有不能趨于零,，并寫出收斂圓周。所以，而發(fā)散，證明的收斂半徑為1證明：因為級數(shù)收斂設(shè)若的收斂半徑為1則現(xiàn)用反證法證明若則，有，即收斂，與條件矛盾。綜上述可知，必有，所以，證明級數(shù)對于所有滿足點都發(fā)散.證明：不妨設(shè)當時，在處收斂則對，絕對收斂，則在點處收斂所以矛盾,從而在處發(fā)散.,(到項),并指出其收斂半徑.解:因為奇點為所以又于是，有展開式,(到項)解：為的奇點，所以收斂半徑又于是，在處的泰勒級數(shù)為，并指出其收斂性.(1) 分別在和處 (2) 在處(3) 在處 (4) 在處(5) 在處解 （1）(2) (3) (4)(5)因為從沿負實軸不解析所以,收斂半徑為R=1，展開式的系數(shù)都是實數(shù)？答：因為當取實數(shù)值時，與的泰勒級數(shù)展開式是完全一致的，而在內(nèi)，的展開式系數(shù)都是實數(shù)。從而不是的孤立奇點.23. 用級數(shù)展開法指出函數(shù)在處零點的級.解：故z=0為f(z)的15級零點24. 判斷是否為下列函數(shù)的孤立奇點，并確定奇點的類型：⑴??； ⑵ 解: 是的孤立奇點因為所以是的本性奇點.(2)因為所以是的可去奇點.25. 下列函數(shù)有些什么奇點？如果是極點，指出其點：⑴ ⑵ ⑶ 解: (1)所以是奇點,是二級極點.解: (2) 是奇點,是一級極點,0是二級極點.解: (3)是的二級零點而是的一級零點, 是的一級零點所以是的二
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