復(fù)變函數(shù)期末考試復(fù)習(xí)題及答案詳解-在線瀏覽
2024-08-05 20:03本頁(yè)面
【正文】 填空題.（20分）1. 設(shè)，則.2. 當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù).3. 設(shè)，則.4. 的周期為___.5. 設(shè)，則.6. .7. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_____________。 2. 。 4. 1。6. 1。 8. 。 10. .三. 計(jì)算題.1. 解 .2. 解 . 所以收斂半徑為.3. 解 令 , 則 .故原式.4. 解 令 , . 則在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 . 即在 內(nèi), 方程只有一個(gè)根.四. 證明題.1. 證明 證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù), 得 因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? 消去得, .1) , 則 為常數(shù).2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù).2. 證明 取 , 則對(duì)一切正整數(shù) 時(shí), . 于是由的任意性知對(duì)一切均有. 故, 即是一個(gè)至多次多項(xiàng)式或常數(shù). 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（四）參考答案.二. 填空題.1. , 。 3. 。 5. 整函數(shù)。 7. 0。 9. 。 2. 。 4. 。 6. 0。 8. 。 10. . 三. 計(jì)算題.1. 解 令, 則 . 故 , .2. 解 連接原點(diǎn)及的直線段的參數(shù)方程為 , 故.3. 令, 則. 當(dāng)時(shí), 故, 且在圓內(nèi)只以為一級(jí)極點(diǎn), 在上無奇點(diǎn), 故, 由殘數(shù)定理有.4. 解 令 則在內(nèi)解析, 且在上, , 所以在內(nèi), , 即原方程在 內(nèi)只有一個(gè)根.四. 證明題.1. 證明 因?yàn)? 故. 這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在平面上處處連續(xù), 但只在處滿足條件, 故只在除了外處處不可微.2. 證明 取 , 則對(duì)一切正整數(shù) 時(shí), . 于是由的任意性知對(duì)一切均有. 故, 即是一個(gè)至多次多項(xiàng)式或常數(shù).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（六）參考答案二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7. 整函數(shù) 8. 9. 0 10. 歐拉公式 三、計(jì)算題：1. 解：因?yàn)? 故.2. 解： 因此 故 .： ： 5．解：設(shè), 則. 6．解：四、1. 證明：設(shè)則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，而的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6. ：設(shè)，則, 由于在內(nèi)解析，因此有 , .于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù). ：由于是的階零點(diǎn)，從而可設(shè) ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點(diǎn).《復(fù)變函數(shù)》模擬考試試題《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一）一、 判斷題（4x10=40分）：若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)。（ ）若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內(nèi)連續(xù)。（ ）若z0是的m階零點(diǎn)，則z0是1/的m階極點(diǎn)。（ ）若存在且有限，則z0是函數(shù)的可去奇點(diǎn)。（ ）若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則它在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。（ ）二、填空題（4x5=20分）若是單位圓周，n是自然數(shù)，則__________。設(shè)，則f(z)的定義域?yàn)開__________。_____________。求。求在內(nèi)的羅朗展式?！稄?fù)變函數(shù)》考試試題（二） 一、判斷題（4x10=40分）：若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù)。（ ）若收斂，則與都收斂。（ ）若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開為冪級(jí)數(shù)。（ ）若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則f(z)在z0解析。（ ）若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑大于零，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析。（ ）二、填空題（4x5=20分）__________。若函數(shù)f(z)在復(fù)平面上處處解析，則稱它是___________。若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_____________。求在|z|1內(nèi)根的個(gè)數(shù)。（ ）若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)。( )若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則f(z)在z0解析。（ ）函數(shù)與在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)有界。（ ）若z0是的m階零點(diǎn)，則z0是1/的m階極點(diǎn)。（ ）若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)解析且在D內(nèi)的某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)，則數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù)。若是單位圓周，n是自然數(shù)，則__________。設(shè)，則的孤立奇點(diǎn)有__________。若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)_________。____________，其中n為自然數(shù)。設(shè)，求求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式。求四、證明題（6+7+7=20分）：設(shè)是函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)且，試證：。證明方程在內(nèi)僅有3個(gè)根。（ ）如果z0是f(z)的本性奇點(diǎn)，則一定不存在。( )若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)解析。（ ）若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析。（ ）存在整函數(shù)f(z)將復(fù)平面映照為單位圓內(nèi)部。（ ）冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為__________。設(shè)，則的孤立奇點(diǎn)有__________。冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為____________。若
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