復(fù)變函數(shù)習(xí)題答案(完整版)
【正文】 在D內(nèi)任取一點(diǎn)Z，并取充分大的R，作圓CR: ，將C與Z包含在內(nèi)則f(z)在以C及為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，依柯西積分公式，有因?yàn)?在上解析，且所以，當(dāng)Z在C外部時(shí)，有即設(shè)Z在C內(nèi)，則f(z)=0，即故有：習(xí)題四1. 復(fù)級(jí)數(shù)與都發(fā)散,?為什么?．反例: 發(fā)散但收斂發(fā)散收斂.2. 下列復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂,是絕對(duì)收斂還是條件收斂?(1) (2) (3) (4) (5) 解 (1) 因?yàn)榘l(fā)散,所以發(fā)散(2)發(fā)散又因?yàn)樗园l(fā)散(3) 發(fā)散,又因?yàn)槭諗?所以不絕對(duì)收斂.(4) 因?yàn)樗约?jí)數(shù)不絕對(duì)收斂.又因?yàn)楫?dāng)n=2k時(shí), 級(jí)數(shù)化為收斂當(dāng)n=2k+1時(shí), 級(jí)數(shù)化為也收斂所以原級(jí)數(shù)條件收斂(5) 其中 發(fā)散,收斂所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.:若,且和收斂,則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.證明:設(shè)因?yàn)楹褪諗克允諗坑忠驗(yàn)?所以且當(dāng)n充分大時(shí), 所以收斂而收斂，收斂所以收斂，從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.解 因?yàn)椴糠趾停?，不存?當(dāng)而時(shí)（即），cosnθ和sinnθ都沒(méi)有極限,所以也不收斂．.故當(dāng)和時(shí), 收斂.=0處收斂而在z=3處發(fā)散.解： 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，時(shí)發(fā)散.若在z=0處收斂,則若在z=3處發(fā)散, 則顯然矛盾,所以冪級(jí)數(shù)不能在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散?為什么?(1)每一個(gè)冪級(jí)數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂.(2) 每一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)可能有奇點(diǎn).答: (1) 不正確,因?yàn)閮缂?jí)數(shù)在它的收斂圓周上可能收斂,也可能發(fā)散.(2) 不正確,因?yàn)槭諗康膬缂?jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周內(nèi)是解析的.,求的收斂半徑。解：令,則.于是.(2) 。證明： 證明：∵∴．設(shè)z,w∈163。證明下列不等式．并給出最后一個(gè)等式的幾何解釋．證明：在上面第五題的證明已經(jīng)證明了．下面證．∵．從而得證．∴幾何意義：平行四邊形兩對(duì)角線平方的和等于各邊的平方的和．①解： 其中．②解：其中．③解：④解：.∴⑤解：解：∵．∴：(1)i的三次根；(2)1的三次根；(3) 的平方根.⑴i的三次根．解：∴．?、?的三次根解：∴⑶的平方根．解： ∴∴．. 證明：證明：∵ ∴，即．∴又∵n≥2． ∴z≠1從而,.解：如圖所示．因?yàn)?{z: =0}表示通過(guò)點(diǎn)a且方向與b同向的直線，要使得直線在a處與圓相切，則CA⊥．過(guò)C作直線平行，則有∠BCD=β，∠ACB=90176。解：設(shè)z=x+yi，則有顯然當(dāng)取不同的值時(shí)f(z)的極限不同所以極限不存在.（3） ；解：=.（4） .解：因?yàn)樗?4. 討論下列函數(shù)的連續(xù)性：(1) 解：因?yàn)?若令y=kx,則,因?yàn)楫?dāng)k取不同值時(shí)，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0處極限不存在.從而f(z)在z=0處不連續(xù)，除z=0外連續(xù).(2) 解：因?yàn)?所以所以f(z)在整個(gè)z平面連續(xù).5. 下列函數(shù)在何處求導(dǎo)？并求其導(dǎo)數(shù).(1) (n為正整數(shù))；解：因?yàn)閚為正整數(shù)，所以f(z)在整個(gè)z平面上可導(dǎo)..(2) .解：因?yàn)閒(z)為有理函數(shù)，所以f(z)在處不可導(dǎo).從而f(z)除外可導(dǎo).(3) .解：f(z)除外處處可導(dǎo)，且.(4) .解：因?yàn)?所以f(z)除z=0外處處可導(dǎo)，且.6. 試判斷下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性.(1) 。解： 因?yàn)樗?：若冪級(jí)數(shù)的 系數(shù)滿足，則(1)當(dāng)時(shí), (2) 當(dāng)時(shí), (3) 當(dāng)時(shí), 證明：考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)由于，若，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根值判別法知，當(dāng)，即，收斂。1,177。(n1))一級(jí)極點(diǎn)由于∴(2) c:|z|=2取正向．解：因?yàn)樵赾內(nèi)有z=1，z=i兩個(gè)奇點(diǎn)．所以6. 計(jì)算下列積分．(1)因被積函數(shù)為θ的偶函數(shù)，所以令則有設(shè) 則被積函數(shù)在|z|=1內(nèi)只有一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)但所以又因?yàn)椤?2) ，|a|1．解：令 令z=eiθ．，則得(3)，a0，b0．解：令，被積函數(shù)R(z)在上半平面有一級(jí)極點(diǎn)z=ia和ib．故4. ，a0．解：令，則z=177。(1) (2) (3) (4) 解: (１)收斂圓周(2) 所以收斂圓周(3) 記 由比值法,有要級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,收斂半徑為所以收斂圓周(4) 記
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