【正文】 x+2y=20, :5x+4y＝70 y 以及x=0,y=0組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：20x+30y=c在可行域內 平行移動. 易知：當過與的交點時， xS取最大值. 由 解得 此時 ＝20＝350（元）2. 某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24立方米，使得所獲利潤最大，并求出最大利潤.解:設甲貨物、乙貨物的托運箱數(shù)分別為,所獲利潤為則問題的數(shù)學模型可表示為 這是一個整線性規(guī)劃問題. 用圖解法求解. 可行域為：由直線 及組成直線 在此凸四邊形區(qū)域內平行移動. 易知：當過與的交點時，取最大值由 解得 . 3．某微波爐生產企業(yè)計劃在下季度生產甲、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個單位,工時為120個單位,且甲型、,確定生產甲型、乙型微波爐的臺數(shù),使獲利潤最大．并求出最大利潤.解：設安排生產甲型微波爐件,乙型微波爐件,相應的利潤為S.則此問題的數(shù)學模型為： max S=3x +2y . 這是一個整線性規(guī)劃問題 用圖解法進行求解可行域為：由直線：2x+3y=100, :4x+2y＝120 及x=6,y=12組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：3x+2y=c在此凸四邊形區(qū)域內平行移動. 易知：當過與的交點時, S取最大值. 由 解得 . ＝3＝100.《數(shù)學模型》作業(yè)解答第五章1（2008年11月12日），證明： （1）若，然后減少并趨于零；單調減少至 （2）解：傳染病的模型（14）可寫成 （1） （2） 4．（3）中，設乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負. 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為: 現(xiàn)求(1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為第五章2（2008年11月14日）中心室, 排除6. （只有中心室），在快速靜脈注射、恒速靜脈滴注（持續(xù)時間為）和口服或肌肉注射3種給藥方式下求解血藥濃度，并畫出血藥濃度曲線的圖形. 解: 設給藥速率為 (1)快速靜脈注射: 設給藥量為 則(2)恒速靜脈滴注(持續(xù)時間為): 設滴注速率為解得 (3) 口服或肌肉注射: 3種情況下的血藥濃度曲線如下：(1)(2)(3)Ot 第五章3（2008年11月18日）8. , (1) 設求 (2) 若有一支不帶過濾嘴的香煙,參數(shù)同上,比較全部吸完和只吸到處的情況下，進入人體毒物量的區(qū)別.解， (2) 對于一支不帶過濾嘴的香煙,全部吸完的毒物量為只吸到處就扔掉的情況下的毒物量為4．（3）中，設乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負. 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為: 現(xiàn)求(1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為《數(shù)學模型》作業(yè)解答第六章（2008年11月20日），如果漁場魚量的自然增長仍服從Logistic規(guī)律，而單位時間捕撈量為常數(shù)h．(1)分別就，這3種情況討論漁場魚量方程的平衡點及其穩(wěn)定狀況．(2)如何獲得最大持續(xù)產量，．解：設時刻t的漁場中魚的數(shù)量為，則由題設條件知：變化規(guī)律的數(shù)學模型為記(1).討論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定性：　　　由，得 ．即 ，(1)的解為：①當，(1)無實根，此時無平衡點；②當，(1)有兩個相等的實根，平衡點為.， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即．不穩(wěn)定；③當，時，得到兩個平衡點：， 易知： ， ， ，平衡點不穩(wěn)定，平衡點穩(wěn)定x(2)最大持續(xù)產量的數(shù)學模型為即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點不穩(wěn)定．．要獲得最大持續(xù)產量，應使?jié)O場魚量，且盡量接近，但不能等于．：．其中r和N的意義與Logistic模型相同．設漁場魚量的自然增長服從這個模型，且單位時間捕撈量為．討論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產量及獲得最大產量的捕撈強度和漁場魚量水平．解：變化規(guī)律的數(shù)學模型為 記 ① 令，得 ，．平衡點為 . 又，． 平衡點是穩(wěn)定的，而平衡點不穩(wěn)定. 0 ②最大持續(xù)產量的數(shù)學模型為：由前面的結果可得 ，令得最大產量的捕撈強度．從而得到最大持續(xù)產量，此時漁場魚量水平．3．設某漁場魚量(時刻漁場中魚的數(shù)量)的自然增長規(guī)律為：其中為固有增長率,為環(huán)境容許的最大魚量. 而單位時間捕撈量為常數(shù).1．求漁場魚量的平衡點,并討論其穩(wěn)定性。G(2)= ()。C、設就得到.數(shù)學模型：,有,且,則,使.模型求解:令 .就有 .再由的連續(xù)性,得到是一個連續(xù)函數(shù). ：,使.又因為,.9． （1）某甲早8：00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5：00到達山頂并留宿.次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：，甲必在兩天中的同一時刻經？（2）37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，？解：（1）方法一：以時間為橫坐標，以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐虨榭v坐標， 第一天的行程可用曲線（）表示 ，第二天的行程可用曲線（）表示，（）（）是連續(xù)曲線必有交點,兩天都在時刻經過地點. x d 方法二：設想有兩個人， () 一人上山，一人下山，同一天同 時出發(fā)，沿同一路徑,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我們以山下旅店為始點記路程,設從山下旅店到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為(即t時刻走的路程為),同樣設從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為,并設山下旅店到山頂?shù)木嚯x為(0).由題意知：,.令,則有，由于,都是時間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,使,即.（2）36場比賽，因為除冠軍隊外，每隊都負一場；6輪比賽，因為2隊賽1輪，4隊賽2輪，32隊賽5輪. 隊需賽場，若，則需賽輪.2．已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應函數(shù)分別為和.設曲線和相交于點，在點附近可以用直線來近似表示曲線和： （1） （2）由（2）得 （3） （1）代入（3），可得 ， （4）上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.