【正文】 =MLL2T2T=L1MT1，[]=LM0T0 ，[]=LM0T2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). ，即在單擺運(yùn)動(dòng)中考慮阻力，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計(jì)算原型擺的周期.解：設(shè)阻尼擺周期,擺長, 質(zhì)量,重力加速度，阻力系數(shù)的關(guān)系為其量綱表達(dá)式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量∴, , ∴ ，其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型，設(shè)和不變，記模型和原型擺的周期、擺長、質(zhì)量分別為,；,。C、設(shè)就得到.數(shù)學(xué)模型：,有,且,則,使.模型求解:令 .就有 .再由的連續(xù)性,得到是一個(gè)連續(xù)函數(shù). ：,使.又因?yàn)?.8. 假定人口的增長服從這樣的規(guī)律：時(shí)刻的人口為,單位時(shí)間內(nèi)人口的增量與成正比（其中為最大容量）.、阻滯增長模型的結(jié)果比較.解：現(xiàn)考察某地區(qū)的人口數(shù)，記時(shí)刻的人口數(shù)為（一般是很大的整數(shù)）,因?yàn)閱挝粫r(shí)間內(nèi)人口增長量與成正比, ： .兩邊除以,并令,得到 解為 如圖實(shí)線所示， 指數(shù)模型 當(dāng)充分大時(shí) 它與Logistic模型相近. Logistic模型 o t 9．為了培養(yǎng)想象力、洞察力和判斷力，考察對(duì)象時(shí)除了從正面分析外，還常常需要從側(cè)面：（1） 某甲早8：00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5：00到達(dá)山頂并留宿.次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)？（2） 37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊(duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，？（3） 甲乙兩站之間有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車，但發(fā)車時(shí)刻，某人每天在隨機(jī)的時(shí)刻到達(dá)丙站，并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車，結(jié)果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達(dá)甲站，？（4） 某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6：00抵達(dá)T市車站，他的妻子駕車準(zhǔn)時(shí)到車站接他回家，一日他提前下班搭早一班火車于5：30抵T市車站，隨即步行回家，他的妻子象往常一樣駕車前來，在半路上遇到他，即接他回家，此時(shí)發(fā)現(xiàn)比往常？（5） 一男孩和一女孩分別在離家2 km和1 km且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時(shí)放學(xué)后分別以4 km/h和2 km/ km/h的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中，問小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上學(xué)時(shí)小狗也往返奔波在他們之間，問當(dāng)他們到達(dá)學(xué)校時(shí)小狗在何處？解：（1）方法一：以時(shí)間為橫坐標(biāo)，以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐虨榭v坐標(biāo)， 第一天的行程可用曲線（）表示 ，第二天的行程可用曲線（）表示，（）（）是連續(xù)曲線必有交點(diǎn),兩天都在時(shí)刻經(jīng)過地點(diǎn). x d 方法二：設(shè)想有兩個(gè)人， () 一人上山，一人下山，同一天同 時(shí)出發(fā)，沿同一路徑,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我們以山下旅店為始點(diǎn)記路程,設(shè)從山下旅店到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為(即t時(shí)刻走的路程為),同樣設(shè)從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為,并設(shè)山下旅店到山頂?shù)木嚯x為(0).由題意知：,.令,則有，由于,都是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,使,即.（2）36場比賽，因?yàn)槌谲婈?duì)外，每隊(duì)都負(fù)一場；6輪比賽，因?yàn)?隊(duì)賽1輪，4隊(duì)賽2輪，32隊(duì)賽5輪. 隊(duì)需賽場，若，則需賽輪.（3）不妨設(shè)從甲到乙經(jīng)過丙站的時(shí)刻表是8：00，8：10，8：20，…… 那么從乙到甲經(jīng)過丙站的時(shí)刻表應(yīng)該是8：09，8：19，8：29……（4），先帶他前往車站，再回家，汽車多行駛了10分鐘，于是帶他去車站這段路程汽車多跑了5分鐘，而到車站的時(shí)間是6：00，所以妻子駕車遇到他的時(shí)刻應(yīng)該是5：55.（5）放學(xué)時(shí)小狗奔跑了3 （可在任何位置），因?yàn)樵O(shè)想放學(xué)時(shí)小狗在任何位置開始跑，是由于上學(xué)時(shí)小狗初始跑動(dòng)的那一瞬間，方向無法確定.10. 某人第一天上午9：00從甲地出發(fā)，于下午6：：00他又從乙地出發(fā)按原路返回，下午6：，：00回到甲地，結(jié)論將如何？答：（方法一）我們以甲地為始點(diǎn)記路程,設(shè)從甲地到乙地的路程函數(shù)為(即t時(shí)刻走的路程為),同樣設(shè)從乙地到甲地的路函數(shù)為,并設(shè)甲地到乙地的距離為(0).由題意知：,. 令,則有，由于,都是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,使,即. 若第二天此人是下午4：00回到甲地,則結(jié)論仍然正確,這是因?yàn)椋?（方法二）此題可以不用建模的方法,而變換角度考慮：設(shè)想有兩個(gè)人，一人從甲地到乙地,另一人從乙地到甲地,同一天同時(shí)出發(fā),沿同一路徑,：00回到甲地,則結(jié)論仍然正確. 第一章作業(yè)解答第 58 頁 共 58 頁。G(2)= ()。G(3)=() G(4)=() G(5)= 當(dāng)報(bào)童每天訂300份時(shí)，收益的期望值最大. 數(shù)模復(fù)習(xí)資料第一章1. 原型與模型, 按北京師范大學(xué)劉來福教授的觀點(diǎn)：、城市交通模型等.模型2. 數(shù)學(xué)模型對(duì)某一實(shí)際問題應(yīng)用數(shù)學(xué)語言和方法,通過抽象、簡化、假設(shè)等對(duì)這一實(shí)際問題近似刻劃所得的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),稱為此實(shí)際問題的一個(gè)數(shù)學(xué)模型. .3. 數(shù)學(xué)建模,數(shù)學(xué)建模是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定系統(tǒng)或特定問題,為了一個(gè)特定的目的,運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法,通過抽象和簡化,建立一個(gè)近似描述這個(gè)系統(tǒng)或問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(數(shù)學(xué)模型),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具以及計(jì)算機(jī)技術(shù)來解模型,最后將其結(jié)果接受實(shí)際的檢驗(yàn),并反復(fù)修改和完善.數(shù)學(xué)建模過程流程圖為：實(shí)際問題抽象、簡化、假設(shè)確定變量、參數(shù)歸結(jié)數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)地、數(shù)值地 求解模型估計(jì)參數(shù)否 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?用實(shí)例或有關(guān)知識(shí))符合否？是評(píng)價(jià)、推廣并交付使用產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會(huì)效益依次為：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類,常見的有：a. 按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類 數(shù)學(xué)模型 b. 按建模的數(shù)學(xué)方法分類 數(shù)學(xué)模型 c. 按建模目的來分類 數(shù)學(xué)模型 ：：冪法、和法、根法4．在“椅子擺放問題”的假設(shè)條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長方形，.解：設(shè)椅子四腳連線呈長方形ABCD. AB與CD的對(duì)稱軸為軸，、B與地面距離之和記為。每次訂貨費(fèi)＝2500（元）。 《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答 第二章(1)（2008年9月16日） 1． 學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（1）. 按比例分配取整數(shù)的名額后,剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。,. 又 當(dāng)無量綱量時(shí)， 就有 .《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答第三章1（2008年10月14日）1. ,重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量．證明在不允許缺貨模型中結(jié)果與原來的一樣，而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都比原來結(jié)果減少．解：設(shè)購買單位重量貨物的費(fèi)用為,其它假設(shè)及符號(hào)約定同課本． 對(duì)于不允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為：　　　　 　　　　 　　　　令 ， 　解得　　　　　　　由 ，　得與不考慮購貨費(fèi)的結(jié)果比較，Ｔ、Ｑ的最優(yōu)結(jié)果沒有變． 對(duì)于允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為：　　　 　　　 　　　 　　　令　，　得到駐點(diǎn)：　　　　與不考慮購貨費(fèi)的結(jié)果比較，Ｔ、Ｑ的最優(yōu)結(jié)果減少．2．建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型．設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷售速率為常數(shù)，．在每個(gè)生產(chǎn)周期Ｔ內(nèi)，開始的一段時(shí)間一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時(shí)間只銷售不生產(chǎn)，單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為，以總費(fèi)用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論和的情況. 解：由題意可得貯存量的圖形如下：O 貯存費(fèi)為 又 , 貯存費(fèi)變?yōu)? 于是不允許缺貨的情況下，生產(chǎn)銷售的總費(fèi)用（單位時(shí)間內(nèi)）為 . ,