【正文】 =MLL2T2T=L1MT1，[]=LM0T0 ，[]=LM0T2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個相互獨立的無量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). ，即在單擺運動中考慮阻力，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計算原型擺的周期.解：設阻尼擺周期,擺長, 質量,重力加速度，阻力系數(shù)的關系為其量綱表達式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個相互獨立的無量綱量∴, , ∴ ，其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型，設和不變，記模型和原型擺的周期、擺長、質量分別為,；,。C、設就得到.數(shù)學模型：,有,且,則,使.模型求解:令 .就有 .再由的連續(xù)性,得到是一個連續(xù)函數(shù). ：,使.又因為,.8. 假定人口的增長服從這樣的規(guī)律：時刻的人口為,單位時間內人口的增量與成正比（其中為最大容量）.、阻滯增長模型的結果比較.解：現(xiàn)考察某地區(qū)的人口數(shù)，記時刻的人口數(shù)為（一般是很大的整數(shù)）,因為單位時間內人口增長量與成正比, ： .兩邊除以,并令,得到 解為 如圖實線所示， 指數(shù)模型 當充分大時 它與Logistic模型相近. Logistic模型 o t 9．為了培養(yǎng)想象力、洞察力和判斷力，考察對象時除了從正面分析外，還常常需要從側面：（1） 某甲早8：00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5：00到達山頂并留宿.次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：，甲必在兩天中的同一時刻經(jīng)？（2） 37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，？（3） 甲乙兩站之間有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車，但發(fā)車時刻，某人每天在隨機的時刻到達丙站，并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車，結果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達甲站，？（4） 某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6：00抵達T市車站，他的妻子駕車準時到車站接他回家，一日他提前下班搭早一班火車于5：30抵T市車站，隨即步行回家，他的妻子象往常一樣駕車前來，在半路上遇到他，即接他回家，此時發(fā)現(xiàn)比往常？（5） 一男孩和一女孩分別在離家2 km和1 km且方向相反的兩所學校上學，每天同時放學后分別以4 km/h和2 km/ km/h的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中，問小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上學時小狗也往返奔波在他們之間，問當他們到達學校時小狗在何處？解：（1）方法一：以時間為橫坐標，以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐虨榭v坐標， 第一天的行程可用曲線（）表示 ，第二天的行程可用曲線（）表示，（）（）是連續(xù)曲線必有交點,兩天都在時刻經(jīng)過地點. x d 方法二：設想有兩個人， () 一人上山，一人下山，同一天同 時出發(fā)，沿同一路徑,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我們以山下旅店為始點記路程,設從山下旅店到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為(即t時刻走的路程為),同樣設從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為,并設山下旅店到山頂?shù)木嚯x為(0).由題意知：,.令,則有，由于,都是時間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,使,即.（2）36場比賽，因為除冠軍隊外，每隊都負一場；6輪比賽，因為2隊賽1輪，4隊賽2輪，32隊賽5輪. 隊需賽場，若，則需賽輪.（3）不妨設從甲到乙經(jīng)過丙站的時刻表是8：00，8：10，8：20，…… 那么從乙到甲經(jīng)過丙站的時刻表應該是8：09，8：19，8：29……（4），先帶他前往車站，再回家，汽車多行駛了10分鐘，于是帶他去車站這段路程汽車多跑了5分鐘，而到車站的時間是6：00，所以妻子駕車遇到他的時刻應該是5：55.（5）放學時小狗奔跑了3 （可在任何位置），因為設想放學時小狗在任何位置開始跑，是由于上學時小狗初始跑動的那一瞬間，方向無法確定.10. 某人第一天上午9：00從甲地出發(fā)，于下午6：：00他又從乙地出發(fā)按原路返回，下午6：，：00回到甲地，結論將如何？答：（方法一）我們以甲地為始點記路程,設從甲地到乙地的路程函數(shù)為(即t時刻走的路程為),同樣設從乙地到甲地的路函數(shù)為,并設甲地到乙地的距離為(0).由題意知：,. 令,則有，由于,都是時間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,使,即. 若第二天此人是下午4：00回到甲地,則結論仍然正確,這是因為，.（方法二）此題可以不用建模的方法,而變換角度考慮：設想有兩個人，一人從甲地到乙地,另一人從乙地到甲地,同一天同時出發(fā),沿同一路徑,：00回到甲地,則結論仍然正確. 第一章作業(yè)解答第 58 頁 共 58 頁。G(2)= ()。G(3)=() G(4)=() G(5)= 當報童每天訂300份時，收益的期望值最大. 數(shù)模復習資料第一章1. 原型與模型, 按北京師范大學劉來福教授的觀點：、城市交通模型等.模型2. 數(shù)學模型對某一實際問題應用數(shù)學語言和方法,通過抽象、簡化、假設等對這一實際問題近似刻劃所得的數(shù)學結構,稱為此實際問題的一個數(shù)學模型. .3. 數(shù)學建模,數(shù)學建模是指對于現(xiàn)實世界的某一特定系統(tǒng)或特定問題,為了一個特定的目的,運用數(shù)學的語言和方法,通過抽象和簡化,建立一個近似描述這個系統(tǒng)或問題的數(shù)學結構(數(shù)學模型),運用適當?shù)臄?shù)學工具以及計算機技術來解模型,最后將其結果接受實際的檢驗,并反復修改和完善.數(shù)學建模過程流程圖為：實際問題抽象、簡化、假設確定變量、參數(shù)歸結數(shù)學模型 數(shù)學地、數(shù)值地 求解模型估計參數(shù)否 檢驗模型(用實例或有關知識)符合否？是評價、推廣并交付使用產生經(jīng)濟、社會效益依次為：模型準備、模型假設、模型構成、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型應用數(shù)學模型可以按照不同的方式分類,常見的有：a. 按模型的應用領域分類 數(shù)學模型 b. 按建模的數(shù)學方法分類 數(shù)學模型 c. 按建模目的來分類 數(shù)學模型 ：：冪法、和法、根法4．在“椅子擺放問題”的假設條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長方形，.解：設椅子四腳連線呈長方形ABCD. AB與CD的對稱軸為軸，、B與地面距離之和記為。每次訂貨費＝2500（元）。 《數(shù)學模型》作業(yè)解答 第二章(1)（2008年9月16日） 1． 學校共1000名學生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（1）. 按比例分配取整數(shù)的名額后,剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。,. 又 當無量綱量時， 就有 .《數(shù)學模型》作業(yè)解答第三章1（2008年10月14日）1. ,重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量．證明在不允許缺貨模型中結果與原來的一樣，而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都比原來結果減少．解：設購買單位重量貨物的費用為,其它假設及符號約定同課本． 對于不允許缺貨模型，每天平均費用為：　　　　 　　　　 　　　　令 ， 　解得　　　　　　　由 ，　得與不考慮購貨費的結果比較，Ｔ、Ｑ的最優(yōu)結果沒有變． 對于允許缺貨模型，每天平均費用為：　　　 　　　 　　　 　　　令　，　得到駐點：　　　　與不考慮購貨費的結果比較，Ｔ、Ｑ的最優(yōu)結果減少．2．建立不允許缺貨的生產銷售存貯模型．設生產速率為常數(shù)，銷售速率為常數(shù)，．在每個生產周期Ｔ內，開始的一段時間一邊生產一邊銷售，后來的一段時間只銷售不生產，單位時間每件產品貯存費為，以總費用最小為目標確定最優(yōu)生產周期，討論和的情況. 解：由題意可得貯存量的圖形如下：O 貯存費為 又 , 貯存費變?yōu)? 于是不允許缺貨的情況下，生產銷售的總費用（單位時間內）為 . ,