實(shí)變函數(shù)論與泛函分析曹廣福1到5章課后答案-文庫吧資料
2025-06-28 17:17本頁面
【正文】 如： .因此，中的每個(gè)元都是中可數(shù)元的并，. 從而，.即，上集的全體的勢為. ，都可找到完備集，使得. ：只要，就一定可以找到，使對，有. 證明：設(shè)，.首先將劃分成可數(shù)邊長為的左開右閉的維長方體.，. 因，其中，又由，.故，所以，有. 這樣下去得一個(gè)單調(diào)遞減的可測集列 ，其中：，.記，故閉集列單調(diào)遞減且，.由閉集套定理，. 對于，因，取，故. ，：也可測，且. 證明：（1）先證： 因?yàn)?，為開長方體，對于開長方體序列，若，則，也是開長方體序列，且=.，為開長方體. 另一方面，因?yàn)?，?.由得任意性，知.從而 （2）再證：可測 事實(shí)上，由得可測性，.故，.. 因此，當(dāng)可測時(shí)，. 下面是外測度的平移不變性定理. 定理（平移不變性）設(shè)， 證明：當(dāng)是中開長方體時(shí)也是一個(gè)開長方體，且其相應(yīng)的邊均相同，故. 如果是中的任意點(diǎn)集，對于德任意由開長方體序列構(gòu)成的覆蓋，也是，且仍是開長方體序列，故.所以，為開長方體=.即. 下證： 令，由上面的證明知，.所以.從而，. ，.是零測集，證明：也是零測集.證明：設(shè)，（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，則存在開區(qū)間到使得，..所以.第三章習(xí)題參考解答 ，證明：，是可測集. 解：，因?yàn)槭巧系目蓽y，所以與 可測. ，證明：在上的可測當(dāng)且僅當(dāng)對一切有理數(shù)，是可測集. 證：，取單調(diào)遞減的有理數(shù)序列使得，}的可測性，知，在上的可測. 設(shè)在上的可測，即，當(dāng)時(shí)有理數(shù)時(shí)，可測. 3. 設(shè)是上的可測函數(shù)，證明：對于任意的常數(shù)，是上的可測函數(shù). 為證上述命題，我們先證下面二命題： ，則，有 證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?因?yàn)?，為開區(qū)間.,存在開區(qū)間序列，.又因?yàn)椋ㄗⅲ喝?，則. ，有為開區(qū)間 故存在開區(qū)間，使，有 從而. ，則可測，可測.(). 證：是直接的，我們僅需證明 ，如果，. 事實(shí)上，對于，則，因?yàn)樵诳蓽y，所以，即 即可測. ，證明：對于任意常數(shù)，仍是上的可測函數(shù). 解：記，對于，當(dāng)時(shí)，.故可測所以：可測. 當(dāng)時(shí)，令，則=.在 因?yàn)樵诳蓽y，故可測，又由命題2，. ，證明：在上可測. 證明：，. ，試證它在整個(gè)閉區(qū)間上也可測. 證明：，在上可測，記，則. 又因?yàn)椋?由每個(gè)的可測性，.令，即. 故可測，從而在上可測. ，證明： （i）對上的任意開集，是可測集； (ii) 對中的任何開集，是可測集； （iii）對中的任何型集或型集，是可測集. 證：（i）當(dāng)時(shí)中有界開集時(shí)，由第一章定理11（），是至多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間的并，即. 由在上哦可測性，知：每個(gè)可測，從而可測. 若是的誤解開集，記，則是中有界開集，且，知可測. (ii) 設(shè)是中的任一閉集，記是中開集.=，即 . 由與得可測性，知，可測. （iii）設(shè)， ，存在開集列，閉集列使得，從而，且.由與的可測性，知與均可測. ：上兩個(gè)可測函數(shù)的和仍是可測函數(shù). 證明：設(shè)，是上的兩個(gè)可測函數(shù)，令，==. 由，在可測，知，在可測. 從而，與可測. 故可測.又因是零測集，. ：若是及上的非負(fù)可測函數(shù)，則也是上的非負(fù)可測函數(shù). 證明：因?yàn)槭羌吧系姆秦?fù)可測函數(shù)，則，與，記，則可測. 從而在上非負(fù)可測. ，是上幾乎處處有限的可測函數(shù)，證明：，存在閉集，使得，而在上有界. 證明：（法一）由定理，閉集，使得且在上連續(xù)，現(xiàn)在證在上有界. 如果在無界，即，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)，使得；當(dāng)時(shí)，使得，從而，得中互異點(diǎn)列，使得，即. 另一方面，因?yàn)闉橛薪纾?，故有一收斂子列，不妨設(shè)，則，時(shí)，恒有，則，但由得定義，有，. 證明：（法二）由定理，閉集，使得且在上連續(xù)，現(xiàn)在用有限覆蓋定理證：在上有界. ，使得，恒有：，. 因?yàn)槭怯薪玳]集，故由有限覆蓋定理，存在，則，有，.從而在有界. ，證明：如果，都有，則必有 .證：，因?yàn)?，?又因?yàn)?故，故 12．證明:如果是上的連續(xù)函數(shù)，則在的任何可測自己上都可測. 證明：（1）先證：在上可測. 令，：是一個(gè)開集. 事實(shí)上，則對于，使時(shí)，即，故，從而為開集，在上可測. (2)再證：可測，這是P59性質(zhì)2的直接結(jié)果. ,是上的兩個(gè)可測函數(shù)序列，且，都是上的有限函數(shù)證
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