實(shí)變函數(shù)論word版(參考版)
2025-01-10 15:14本頁(yè)面
【正文】 首先，給出了 Lebesgue 外測(cè)度的定義；接著著重指出和證明了外測(cè)度具有的非負(fù)性、單調(diào)性、次可數(shù)可加性、距離可加性、平移不變性這五大主要性質(zhì)；然后給出了測(cè)度的定義與性質(zhì)；最后延伸介紹了可測(cè)數(shù)函數(shù) 與 Lebesgue 積分。 Th2：若 )(xf 在有界閉區(qū)間 [a,b]上是 Riemann 可積的，則 )(xf 在 [a,b]上也是 Lebesgue可積的，其積分值相同。設(shè) )(xf 是nRE? 上的可測(cè)函數(shù)，若積分 ? ?E dxxf )(， ??E dxxf )(至少有一個(gè)是有極限值，則稱?? ? ?? ?? EE E dxxfdxxfxdxf )()()()( 為 )(xf E上可積函數(shù)的全體記作 )(1EL 。 ④ )(lim xfkk ?? 都是 E上可測(cè)函數(shù) （ 3） 若 )}({ xfk 是 E 上的可測(cè)函數(shù)列，且有 )()(lim xfxfkk ???，則 )( xf 是 E 上的可測(cè)函數(shù)。 ② )}({inf1 xfkk?。 即 )()( xgxf ? 在 E 上可測(cè)。0})(:{})(:{。 ② 對(duì)于 1Rt?? ， })(:{})(:({})()(:{1 iii rtxgxrxfxtxgxfx ???????? ??，其中 }{ir是全體有理數(shù)，從而可知 )()( xgxf ? 是 E上的可測(cè)函數(shù)。 實(shí)變函數(shù)課程報(bào)告 第 5 頁(yè) 共 6 頁(yè) 若 0?c ，則由 })(:{})(:{ ctxfxtxcfx ??? ，由 )( xf 在 E 上可測(cè)知 })(:{ ctxfx ? 可測(cè)，即 )(xcf 在 E 上可測(cè)。 ③ )()( xgxf ? 都是 E 上可測(cè)函數(shù) 證： ① 對(duì)于 1Rt?? 若 0?c ，則由 })(:{})(:{ ctxfxtxcfx ??? ，可知。 可測(cè)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì) （ 1） 若 )(xf ， )(xg 是 E上的實(shí)值可測(cè)函數(shù)，則下列函數(shù) ① ? ?1)( Rcxcf ? 。 （ 4）若 ),2,1( ??? iEi U ，則其并集也屬于 U ；若進(jìn)一步有 )( jiEE ji ???? ，則????? ? 11 )()( i iii EmEm ? ，即 *m 在 U 上滿足可數(shù)可加性（或稱為 ? 可加性）。對(duì)于可測(cè)集 E，其外測(cè)度稱為測(cè)度記為 )(Em ，也就是通常所說(shuō)的 nR 上的Lebesgue 測(cè)度。 （ 4） 距離可加性：設(shè) 1E ， 2E 是 nR 中的點(diǎn)集，若它們的距離 0)( 21 ?EEd )()()( 2*1*21* EmEmEEm ??? 證明： ? )()()( 2*1*21* EmEmEEm ??? 顯然成立 ? 只要證明 )
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