[理學(xué)]復(fù)變函數(shù)論-資料下載頁(yè)
2025-01-19 09:05本頁(yè)面
【正文】 ??注意到圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為 π, 并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。 yxocbza解 a z b a cb? ? ? ?則 如 右 圖 情 況 時(shí)a r g a r gz a c az b c b?????以 下 兩 種 情 況 時(shí)0az b acb? ? ? ? ????abzco xyabczo xyI m ( ) 0z a c az b c b?? ??? ， 即 為 圓 的 方 程 。A r g ( ) 0 , ,z a c az b c b ??? ????這 說(shuō) 明 或于 是其中 ， a,b,c,d是實(shí)常數(shù) 。 解：利用 0)( 22 ????? dcybxyxa22 ,2zz x y z z x? ? ? ?,022?????? dzizzczzbzaz得：).(21 icb ???其中，2z z i y??和,0????? dzzzaz ??例 6 試用復(fù)數(shù)表示圓的方程 : 例 7 證明三角形內(nèi)角和等于 .?(2) 利用復(fù)數(shù)證明幾何問題 證明 設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)分別為 1 2 3, , 。z z z對(duì)應(yīng)的三個(gè)角分別為 , , 。? ? ? 于是 2131a r g ,zzzz????oxzzoxzz 3121 ?????)a r g ()a r g ( 1312 zzzz ????于是 yxoz 2 z 1z 3 z 1z 2???z 3z 1所以 3 2 1 3213 1 1 2 2 3a r g a r g a r gz z z zzzz z z z z z???? ? ?? ? ?3212a r g ,zzzz? ???1323a r g 。zzzz????由于 3 2 1 3213 1 1 2 2 31z z z zzzz z z z z z???? ? ? ?? ? ?同理可證 ??? ??3 2 1 3213 1 1 2 2 3a r g ( ) 2z z z zzzkz z z z z z????? ? ? ?? ? ?a r g( 1 ) 2 k ?? ? ? 2 k????0 , 0 , 0 。? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0 3 。? ? ? ?? ? ? ? ?0,k ?故 必 .? ? ? ?? ? ?故0 , 1 , 2 , .k ? ? ?7. 復(fù)球面與無(wú)窮大 : 在三維空間 (x,y,u)中把 xOy面看作是 z 平面 。 考慮單位球面 S： iyxzuyx ????? ,1222uxy)1,0,0(N)1,0,0( ?SO)0,( yxA)39。,39。,39。(39。 uyxA 取定球面上一點(diǎn) N(0,0,1)稱為球極 。 我們可以建立一個(gè) 復(fù)平面 C到 S{N}之 間的一個(gè) 11對(duì) 應(yīng) （ 球極射影 ） ： ,39。139。39。uiyxiyxz?????1||39。 2 ???zzzx1||39。 2 ???zzzy1||1||39。22???zzu 我們稱上面的映射為球極射影： ① (x,y,0), (x’,y’,u’), (0,0,1)三點(diǎn)共線 ② x:y:1=x’:y’:u’1。 8. 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) : 對(duì)應(yīng)于球極射影為 N， 我們引入一個(gè)新的非 正常復(fù)數(shù) ∞稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，稱 C∪ {∞}為擴(kuò)充 復(fù)平面，記為 C∞. 注： 關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) ， 我們規(guī)定其實(shí)部 、 虛部 、 輻角無(wú)意義 ， 模等于： ???? || 因而球面上的北極 N就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大 ∞的幾何表示 . 球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng) , 這樣的球面稱為 復(fù)球面 . 它和有限復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算為： 1. , 。a a a C? ? ? ? ? ? ? ? 。0, ?????????? aaaa 時(shí)，當(dāng)4. 這些運(yùn)算無(wú)意義： .0/0,/,0, ???????作業(yè)： P42 Ex： 1， 3， 5， 6（ 3） 。0 .3 ???????aaa ，時(shí)，當(dāng)
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