【正文】 ? ? ?當(dāng)12( ) ( )a i b z i z??? ? ? ? ? ?))(())(( 21 yixiyixiba ?????????? ??? ? ? ?? ?yxybxa ???????? 21 ??? ? ? ?21i b x a y x y??? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ?,u x y i v x y? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1221xyxyu u x u y o a x b y x yv v x v y o b x a y x y? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???122 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?xyxyu u x u y o a x b y ov v x v y o b x a y o??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ???,.xyxyu v av u b???? ?? ? ??,u v v ux y x y? ? ? ?? ? ?? ? ? ?稱(chēng) C a u c h y R i e m a n n為 方程? ?( ) ( , ) ( , )w f z u x y i v x y D? ? ? ?即 在 內(nèi)一點(diǎn) x , y 解析u(x,y) 與 v(x,y) 在該點(diǎn)可微 , 并且滿(mǎn)足 柯西 黎曼 (CauchyRiemann)方程。 ( ) .x x y yf z u iv v iu? ? ? ? ??123 ? ??設(shè) u(x,y) 與 v(x,y) 在點(diǎn) (x,y) 可微 , 于是 1234xyxyu u x u y x yv v x v y x y????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ?x,?y?0時(shí) ,?k?0, (k=1,2,3,4)） ?( ) ( )f z z f z u i v? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?21 3 2 4( ) ( )x x x xC R u iv x i v iu yi x i y? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 1 3 2 4( ) ( ) ( ) ,xxu i v x i y i x i y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D?并且滿(mǎn)足 柯西 黎曼 (CauchyRiemann)方程。 ? ? ? ? 1 3 2 4( ) ( )x x y yu i v x u i v y i x i y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?124 1 3 2 4( ) ( ) ( ) ( ) .xxf z z f z x yu iv i iz z z? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?( 1 , 1 )xyzz??????0( ) ( )( ) l im .zf z z f z u vf z iz x x?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?即函數(shù) f (z)在點(diǎn) z = x + iy 處可導(dǎo) . 由 z 的任意性可知： ( ) ( , ) ( , )w f z u x y i v x y? ? ? 在D 內(nèi)解析.定理 1 函數(shù) f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定義域 D內(nèi)解析的充要條件是 u(x,y) 與 v(x,y) 在 D內(nèi)可微 , 并滿(mǎn)足 CauchyRiemann方程 . 定理 2 函數(shù) f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域 D內(nèi)一點(diǎn) z =x+iy 可導(dǎo)的充分必要條件是 : u(x,y)與 v(x,y)在點(diǎn) (x,y)可微 , 在該點(diǎn)滿(mǎn)足 CauchyRiemann方程 。 125 推論 ： , ( , )u v x y C R?若 在 處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且滿(mǎn)足 方程,()f z u i v z x i y? ? ? ?則 在 處可導(dǎo).例題 1 ? ? ,uv?解析 可導(dǎo) 可微且滿(mǎn)足C R 方程? ? ? ?22 2f z x y i x y u i v f z?? ? ? ? ?已知 ，求解： ? ? ? ?2 2 2 2xxf z u i v x i y x i y z? ? ? ? ? ? ? ?例題 2 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo) , 在何處解析 : 1 ) 。 2 ) R e ( )w z w z z??? ? ? ?2 2 2 2yyv i u x i y x i y z? ? ? ? ? ? ? ?126 解： 1 ) ,w z x i y? ? ?由 得 u?x, v??y, 所以 1 , 0 , 0 , 1x y x y x y y xu u v v u v u v? ? ? ? ? ? ? ? ?在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo) , 處處不解析； wz?故2) 由 w = z Re(z) = x2 + ixy, 得 u = x2, v = xy, 所以 2 , 0 , ,x y x yu x u v y v x? ? ? ?當(dāng)且僅當(dāng) x = y = 0時(shí) , ,x y y xu v u v? ? ?因而函數(shù)僅在 z = 0可導(dǎo) , 但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析 . 127 167。 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 定義 1 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)：為區(qū)域?qū)嵑瘮?shù) Dyxu ),(內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在區(qū)域 Dyxu ),(0???? yyxx uuu且滿(mǎn)足(稱(chēng)為調(diào)和方程或 Laplace方程 ) 定理 1： 內(nèi)的解析函數(shù)是區(qū)域 Dyxivyxuzf ),(),()( ??內(nèi)的調(diào)和函數(shù)是區(qū)域與 Dvu?證明： ?內(nèi)解析在 Dzf )( ,x y x yu v v u? ? ?且 u, v有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) xyyyxyxx vuvu ???? , x y yuu? ? ?同樣可得 x y yvv??128 注：逆定理顯然不成立，即 對(duì)區(qū)域 D內(nèi)的任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù) u, v, ivuzf ??)(不一定是解析函數(shù) . 定義 2 若 u與 v是區(qū)域 D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)且滿(mǎn)足 CR程， 則稱(chēng) v為 u的 共軛調(diào)和函數(shù) . 定理 2： ( ) ( , ) ( , )f z u x y i v x y??函數(shù) 在區(qū)域 D內(nèi)解析 ?v為 u的共軛調(diào)和函數(shù) . 解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和數(shù) 例如： ? ? 2 2 2 2f z z x y i x y? ? ? ?是解析函數(shù)， ? ? ? ?222f z x y i x y? ? ?不是解析函數(shù)。 129 已知共軛調(diào)和函數(shù)中的一個(gè)，可利用 CR 方程求得另一個(gè)，從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)。 例題 1 已知一調(diào)和函數(shù) ? ? 22,u x y x y x y???求一解析函數(shù) ? ? ? ?0 0 .f z u i v f? ? ?使解： 2 , 2xyu x y u y x? ? ? ? ?由 CR 方程 ? ?22yxv u x y v x y d y? ? ? ? ? ? ??? ?212 2x y y c x? ? ? ? ?2,xv y c x?? ? ?? ?22xyv u y c x y x?? ? ? ? ? ? ?由 ? ? 21 ,2c x x c? ? ?? ? 2211, 2 .22v x y y x y x c? ? ? ?所以于是 （法一） 130 ? ? 2 2 2 211 222f z x y x y i y x y x c??? ? ? ? ? ? ?????? ? 00 0 ( ) 00xfcy??? ? ? ????由從而 ? ? 2 2 2 2 211 212 2 2if z x y x y i y x y x z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?即為所求解析函數(shù)。 131 167。 初等函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 定義： )s i n( c o s yiyeee xiyxz ??? ?1,:0 0 ??? eeey xzyiyeex iyz s i nc o s:0 ????性質(zhì)： ( 1 ) 0zzee ?定義在全平面上，且? ?( 2 ) z z ze e e? ?在全平面解析，且? ?21 ,)3( 2121 zzeee zzzz ??? ?加法定理：( 4 ) 2zei ?是以 為基本周期的周期函數(shù)( 0 , c o s sin 0 0 )x iy ze e y i y e? ? ? ? ? ?132 ? ?22( c o s 2 s i n 2 , )z k i z k i z ze e e e k i k e k Z?? ??? ? ? ? ? ?( 5 ) l i m .zz e?? 不存在 ( l i m , l i m 0 )zzz x z xee? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 三角函數(shù) 定義： ,2s inieez iziz ??? ,2c o siziz eez???性質(zhì)： (1)Euler 公式仍然成立： zize iz s inc o s ??(2)全平面解析函數(shù)， ? ? ? ? zzzz s i nc o s,c o ss i n ?????且(3)各種三角恒等式仍然成立 (半角公式除外 ) (4)sin z為奇函數(shù)， cos z為偶函數(shù) 133 ( 5 ) 2 ?以 為基本周期的周期函數(shù)：? ? ? ?s i n 2 s i n , c o s 2 s i n . ( )z k z z k z k Z??? ? ? ? ?( 6 ) s i n c o szz與 的?？梢源笥谝簧踔翢o(wú)界：例如 11c o s 1 ,2eei ? ??? ? ?c os .2yyeeiy y? ?? ? ? ? ?(7)定義其他的三角函數(shù)： .s i n1c s c,c os1s e c,s i nc osc t g,c oss i ntgzzzzzzzzzz????134 雙曲函數(shù) 定義： e e e ec h , s h .22z z z zzz?????? （ 1）全平面解析函數(shù)： ? ? ? ?,.sh z c h z c h z sh z????（ 2）以 2?i為基本周期的周期函數(shù)： ? ? ? ?2 , 2 .s h z k i s h z c h z k i c h z??? ? ? ?（ 3） chz為偶函數(shù) , shz為奇函數(shù)。 （ 4）與三角函數(shù)的關(guān)系： 135 例題 1 解方程 s in 1 .z is h?解： ? ?s i n s i n s i n c o s c o s s i nz x i y x i y x i y? ? ? ?s i n c o s 1x c h y i x s h y i s h? ? ?? ?? ?si n 0 1c os 1 2x c hyx sh y sh???? ????? ? : 0 s i n 0 ,c h y x x k k Z?? ? ? ? ? ?由 1 因? ? ? ?2 1 1ks h y s h? ? ?代入 11ykyk???? ???為偶數(shù)為奇數(shù)? ?2.21niz n Zni????? ? ?????136 對(duì)數(shù)函數(shù) 定義： : ( 0) ,ww e z z??若 滿(mǎn)足 L n ( 0 ) .w z z??則,w u i v??記： iz r e ??? u i v u i v ie e e r e ?? ??l n l na r g 2ue r u r zv A rg z z k??? ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ?l n a r g 2w L n z z i z k ?? ? ? ? ?l n a r g 2 l n 2z i z i k z k i??? ? ? ? ? 多值性 l n l n a r gz z i z??主值支 例如： 137 性質(zhì)： ? ?( 1 ) L n : 0 ,z z z? ? ? ?的定義域?yàn)?2) Ln z為無(wú)窮多值函數(shù)，每?jī)蓚€(gè)值相差 2π i的整數(shù)倍 ， 1 2 1 2 1 2( 3 ) , 0 L n ( ) L n L n ,z z z z z z? ? ? ?：1122L n ( ) L n L n .z zzz??(4) 除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸 , ln z在復(fù)平面內(nèi)處處解析： ? ? ? ?11l n , .z Ln zzz ?