[理學(xué)]復(fù)變函數(shù)第一講-資料下載頁(yè)
2025-01-19 07:38本頁(yè)面
【正文】 ?6 ?4 ?2 x 2 4 6 8 v=10 1 y ?10 ?8 ?6 ?4 ?2 u=0 2 4 6 8 u v 10 10 ?10 ?10 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù) 函數(shù)的極限 定義：設(shè)函數(shù) w = f (z)定義在 z0的去心鄰域 ,0 0 rzz ???如果有一確定的數(shù) A存在，對(duì)于任意給定的 ,0??相應(yīng)地必有一正數(shù) ,? 使得當(dāng) 時(shí)有 ????00 zz??? Azf )(那么稱 A為 f (z) 當(dāng) z 趨向 z0時(shí)的極限，記作 Azfzz ?? )(lim0)(zf幾何意義 ：當(dāng)變點(diǎn) z一旦進(jìn)入 z0的充分小的去心鄰域時(shí)，它的 象點(diǎn) f(z)就落入 A的預(yù)先給定的小鄰域內(nèi)。 關(guān)于極限的計(jì)算，有下面的定理。 注意 ： z趨于 z0的方式是任意的，就是說(shuō)，無(wú)論 z從什么方向，以何種方式趨向于 z0， f(z)都要趨向于同一個(gè)常數(shù)。 定理一 ibaAzfzz ???? )(lim0ayxuyyxx ??? ),(lim00byxvyyxx ??? ),(lim00定理二 )(lim)(lim)]()([lim000zgzfzgzf zzzzzz ??? ???)(lim)(lim)]()([lim000zgzfzgzf zzzzzz ??? ?)(lim)(lim)()(lim000 zgzfzgzfzzzzzz????例 證明函數(shù) zzzf Re)( ? 當(dāng) z趨于 0時(shí)的極限不存在。 解法一 令 z=x+iy, 則 22Re)(yxxzzzf???0),(,),(22??? yxvyxxyxu22200 11)(lim),(limkkxxxyxukxyxkxyx ?????????所以極限不存在。 解法 2 利用復(fù)數(shù)的三角表示式 ?? c o sc o sRe)( ??? rrz zzf當(dāng) z沿著不同的射線 ??zarg 趨于零時(shí)， f(z) 趨于不同的值。 如 0a r g ?? ?z2a r g?? ??z1)( ?zf0)( ?zf極限不存在。 函數(shù)的連續(xù) ),()(lim 00zfzfzz ??如果 那么 f(z)在 z0處連續(xù)。 如果 f(z)在 D內(nèi)各點(diǎn)都連續(xù)，那么 f(z) 在 D 內(nèi)連續(xù)。 定理 ： f(z)在 z0處連續(xù)的充分必要條件是 u(x,y), v(x,y) 在（ x0， y0）處連續(xù)。 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算都成立 。 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的最值定理。 例： 122lim21 ????? zzzzzz )1)(1()1)(2(lim1 ?????? zzzzz 2312lim1????? zzz一致連續(xù) （同學(xué)們結(jié)合微積分中的定義嘗試給出） 作業(yè) ? 1，求問(wèn)題 1的解答 ? 2，求問(wèn)題 3的解答。 ? 3,證明：若 |z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 則 z1， z2，z3是內(nèi)接于單位圓 |z|=1的一個(gè)正三角形的三頂點(diǎn)。 ? 4，如右上圖，在銳角三角形中求一點(diǎn)，使得它與三頂點(diǎn)連線距離最短，則中間三線構(gòu)成的角度相等。 A BC
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