【正文】 求復數(shù)的實部與虛部。利用留數(shù)定理計算積分。四、證明題（6+7+7=20分）方程在單位圓內的根的個數(shù)為6。若函數(shù)在區(qū)域D內解析， 等于常數(shù)，則在D內恒等于常數(shù)。若z0是的m階零點，則z0是1/的m階極點。五、計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將z平面上的帶形區(qū)域保形映射為w平面的單位圓盤。《復變函數(shù)》考試試題（八）二、 判斷題（4x10=40分）：若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個鄰域內可導。（ ）如果z0是f(z)的本性奇點，則一定不存在。（ ）若函數(shù)在D內連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內連續(xù)。( )cos z與sin z在復平面內有界。（ ）若z0是的m階零點，則z0是1/的m階極點。（ ）若f(z)在z0處滿足柯西黎曼條件，則f(z)在z0解析。（ ）若存在且有限，則z0是函數(shù)的可去奇點。（ ）若f(z)在單連通區(qū)域D內解析，則對D內任一簡單閉曲線C都有。（ ）若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內的解析函數(shù)，則它在D內有任意階導數(shù)。（ ）若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內的解析，且在D內某個圓內恒為常數(shù)，則在區(qū)域D內恒等于常數(shù)。（ ）二、填空題（4x5=20分）函數(shù)ez的周期為__________。冪級數(shù)的和函數(shù)為__________。設，則f(z)的定義域為___________。的收斂半徑為_________。_____________。三、計算題（8x5=40分）：求4 設。求，使得為解析函數(shù)，且滿足。其中（D為復平面內的區(qū)域）。求，在|z|1內根的個數(shù)《復變函數(shù)》考試試題（九）一、判斷題。（正確者在括號內打√，錯誤者在括號內打，25=10分）1．當復數(shù)時，其模為零，輻角也為零。 （ ）2．若是多項式（）的根，則也是 的根。 （ ）3．如果函數(shù)為整函數(shù)，且存在實數(shù)，使得，則為一常數(shù)。 （ ） 4．設函數(shù)與在區(qū)域D內解析，且在D內的一小段弧上相等，則對任意的，有。 （ ） 5．若 是函數(shù)的可去奇點，則。 （ ）二、填空題（每題2分）1． 。2．設，且，當時。3．函數(shù)將平面上的曲線變成平面上的曲線。4．方程的不同的根為。5．。6．級數(shù)的收斂半徑為。7．在（n為正整數(shù)）內零點的個數(shù)為。8．函數(shù)的零點的階數(shù)為。9．設為函數(shù)的一階極點，且，則。10．設為函數(shù)的m階極點，則。三、計算題。（50分）1． 設。求，使得為解析函數(shù)，且滿足。其中（D為復平面內的區(qū)域）。（15分）2．求下列函數(shù)的奇點，并確定其類型（對于極點要指出它們的階）。（10分） （1） ； （5分） （2）。（5分）3．計算下列積分。（15分） （1） （8分）， （2）（7分）。4．敘述儒歇定理并討論方程在內根的個數(shù)。（10分）四．證明題。（20分）1．設是上半復平面內的解析函數(shù)，證明是下半復平面內的解析函數(shù)。（10分）2． 設函數(shù)在內解析，令。證明：在區(qū)間上是一個上升函數(shù)，且若存在及（），使，則常數(shù)。（10分）《復變函數(shù)》試卷(十)一、填空題。(每題2分) 設，則。 設函數(shù)，，則 的充要條件是。 設函數(shù)在單連通區(qū)域內解析，則在內沿任意一條簡單閉曲線的積分。 設為的極點，則。 設，則是的階零點。 設，則在的鄰域內的泰勒展式為。 設，其中為正常數(shù)，則點的軌跡曲線是。 設，則的三角表示式為。 。 設，則在處的留數(shù)為。 二、計算題。 計算下列各題。(9分)(1) 。 (2) 。 (3) 求解方程。(7分) 設，驗證是調和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之。(8分)計算積分。(10分)(1) ，其中是沿由原點到點的曲線。(2) 。積分路徑為自原點沿虛軸到，再由沿水平方向向右到。 試將函數(shù)分別在圓環(huán)域和內展開為洛朗級數(shù)。(8分) 計算下列積分。(8分) (1) 。 (2) . 計算積分。(8分)求下列冪級數(shù)的收斂半徑。(6分)（1） （2）討論的可導性和解析性。(6分)三、 證明題。 設函數(shù)在區(qū)域內解析，為常數(shù)，證明必為常數(shù)。(5分) 試證明的軌跡是一直線，其中為復常數(shù)，為實常數(shù)。(5分)《復變函數(shù)》考試試卷(十一)一、填空題。(每題2分)設，則。設函數(shù)，，則 的充要條件是。設函數(shù)在單連通區(qū)域內解析，則在內沿任意一條簡單閉曲線的積分。設為的可去奇點，則為。設，則是的階零點。設，則在的鄰域內的泰勒展式為。設，其中為正常數(shù)，則點的軌跡曲線是。設，則的三角表示式為。設，則在處的留數(shù)為。 二、計算題。計算下列各題。(9分)(1) 。 (2) 。 (3) 2 求解方程。(7分)3設，驗證是調和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之。(8分) 計算積分。積分路徑為(1)自原點到的直線段；(2) 自原點沿虛軸到，再由沿水平方向向右到。(10分) 試求在的鄰域內的泰勒展開式。(8分) 計算下列積分。(8分)(1) 。 (2) . 計算積分。(6分) 求下列冪級數(shù)的收斂半徑。(6分)（1） （2）設為復平面上的解析函數(shù)，試確定的值。(8分)三、 證明題。1設函數(shù)在區(qū)域內解析，在區(qū)域內也解析，證明必為常數(shù)。(5分)2試證明的軌跡是一直線，其中為復常數(shù)，為實常數(shù)。(5分)35