復變函數(shù)期末考試復習題及答案詳解(參考版)
2025-06-28 20:03本頁面
【正文】 (5分)35。1設函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，在區(qū)域內(nèi)也解析，證明必為常數(shù)。(6分)（1） （2）設為復平面上的解析函數(shù)，試確定的值。 (2) . 計算積分。(8分) 計算下列積分。積分路徑為(1)自原點到的直線段；(2) 自原點沿虛軸到，再由沿水平方向向右到。(7分)3設，驗證是調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之。 (2) 。計算下列各題。設，則在處的留數(shù)為。設，則的三角表示式為。設，則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為。設為的可去奇點，則為。設函數(shù)，則 的充要條件是。(5分)《復變函數(shù)》考試試卷(十一)一、填空題。 設函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，為常數(shù)，證明必為常數(shù)。(6分)（1） （2）討論的可導性和解析性。 (2) . 計算積分。(8分) 計算下列積分。積分路徑為自原點沿虛軸到，再由沿水平方向向右到。(10分)(1) ，其中是沿由原點到點的曲線。(7分) 設，驗證是調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之。 (2) 。 計算下列各題。 設，則在處的留數(shù)為。 設，則的三角表示式為。 設，則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為。 設為的極點，則。 設函數(shù)，則 的充要條件是。（10分）《復變函數(shù)》試卷(十)一、填空題。（10分）2． 設函數(shù)在內(nèi)解析，令。（10分）四．證明題。（15分） （1） （8分）， （2）（7分）。（10分） （1） ； （5分） （2）。其中（D為復平面內(nèi)的區(qū)域）。（50分）1． 設。10．設為函數(shù)的m階極點，則。8．函數(shù)的零點的階數(shù)為。6．級數(shù)的收斂半徑為。4．方程的不同的根為。2．設，且，當時。 （ ） 5．若 是函數(shù)的可去奇點，則。 （ ）3．如果函數(shù)為整函數(shù)，且存在實數(shù)，使得，則為一常數(shù)。（正確者在括號內(nèi)打√，錯誤者在括號內(nèi)打，25=10分）1．當復數(shù)時，其模為零，輻角也為零。其中（D為復平面內(nèi)的區(qū)域）。4 設。_____________。設，則f(z)的定義域為___________。（ ）二、填空題（4x5=20分）函數(shù)ez的周期為__________。（ ）若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則它在D內(nèi)有任意階導數(shù)。（ ）若存在且有限，則z0是函數(shù)的可去奇點。（ ）若z0是的m階零點，則z0是1/的m階極點。（ ）若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內(nèi)連續(xù)?！稄妥兒瘮?shù)》考試試題（八）二、 判斷題（4x10=40分）：若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導。若z0是的m階零點，則z0是1/的m階極點。四、證明題（6+7+7=20分）方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6。求復數(shù)的實部與虛部。_____________。函數(shù) 的不解析點之集為__________。若z0是f(z)的m階零點且m1，則z0是的______零點。________。設，則的定義域為__________。（ ）（ ）若z0是f(z)的m階零點，則z0是1/ f(z)的m階極點。（ ）若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有。( )若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有。（ ）若函數(shù)f(z)在z0處滿足CauchyRiemann條件，則f(z)在z0解析。五、計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將z平面上的上半單位圓盤保形映射為w平面的單位圓盤。若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析， 等于常數(shù)，則在D內(nèi)恒等于常數(shù)。求復數(shù)的實部與虛部。_____________。函數(shù)f(z)=|z|的不解析點之集為__________。若z0是f(z)的m階零點且m1，則z0是的______零點。________。設，則的定義域為__________。（ ）（ ）若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。( )若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則。（ ）若函數(shù)f(z)在z0處解析，則f(z)在z0滿足CauchyRiemann條件。若z0是的m階零點，則z0是1/的m階極點。四、證明題（6+7+7=20分）方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6。求復數(shù)的實部與虛部。公式稱為__________。函數(shù)f(z)=|z|的不解析點之集為__________。若z0是f(z)的m階零點且m1，則z0是的______零點。________。設，則的定義域為__________。（ ）（ ）若z0是f(z)的m階零點，則z0是1/ f(z)的m階極點。（ ）若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有。( )若函數(shù)f(z)在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則。（ ）若函數(shù)f(z)在z0處滿足CauchyRiemann條件，則f(z)在z0解析。設方程 證明：在開單位圓內(nèi)根的個數(shù)為5。四、證明題（6+7+7=20分）設函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析。求方程在單位圓內(nèi)零點的個數(shù)。函數(shù)的冪級數(shù)展開式為__________。________，其中n為自然數(shù)。若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_____________。的收斂半徑為_________。函數(shù)ez的周期為__________。（ ）二、填空題（2x10=20分）函數(shù)ez的周期為__________。（ ）若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，且在D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。（ ）若冪級數(shù)的收斂半徑大于0，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析。（ ）若數(shù)列收斂，則與都收斂。（ ）若存在
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