【正文】 ? ?????解當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí)40 例 2 計(jì)算 i?? 1解： 因?yàn)? ， 1 i? ? ??????? ??? )43s i n()43c os (2 ?? i所以 1 i? ? ? )1,0(2243s i n2243c os24 ??????????????????kkik ???? 即 )83s i n83(c os2402 ?? iw ??)85s i n85(c os2412 ?? iw ??41 區(qū)域 、區(qū)域的概念 鄰域 ? ?? ?0 0 0000( ) : | | ? ( ) : 0 | | .N z z z z zN z z z zz?????? ? ? ??? ? ? ? ?集 合 稱 為 的（ ） 鄰 域 ，而 稱 集 合為 的 去 心 鄰 域CC42 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn) 000000E? E E E E EE? E.zzzzzz若 點(diǎn) 集 的 點(diǎn) 存 在 一 個(gè) 鄰 域 全 含 于 內(nèi) ，則 稱 為 的 內(nèi) 點(diǎn) ；若 點(diǎn) 存 在 一 個(gè) 鄰 域 和 沒 有 任 何 公 共 點(diǎn) ，則 稱 為 的 外 點(diǎn) ；若 點(diǎn) 的 任 一 鄰 域 內(nèi) 既 有 屬 于 的 點(diǎn) ，也 有 不 屬 于 的 點(diǎn) ， 則 稱 為 的 邊 界 點(diǎn)43 E E .E?的 所 有 邊 界 點(diǎn) 組 成 的 點(diǎn) 集 ， 稱 為 的 邊 界記 為 聚點(diǎn)、孤立點(diǎn) 0000E? E ) E ? E? EE E.zzzz設(shè) 是 一 個(gè) 點(diǎn) 集 ， 若 平 面 上 的 一 點(diǎn) （ 不 必 屬于 的 任 意 鄰 域 都 有 的 無 窮 多 個(gè) 點(diǎn) ， 則 稱為 的 聚 點(diǎn) 或 極 限 點(diǎn) ； 若 屬 于 ， 但 非 的聚 點(diǎn) ， 則 稱 為 的 孤 立 點(diǎn)44 開集、閉集 若點(diǎn)集 E的點(diǎn)皆為內(nèi)點(diǎn)，則稱 E為開集； 若點(diǎn)集 E的每個(gè)聚點(diǎn)皆屬于 E，則稱 E為閉集 . 45 區(qū)域、閉域 平面點(diǎn)集 D稱為一個(gè)區(qū)域，如果它滿足下列兩個(gè)條件： 1） D是一個(gè)開集； 2） D是連通的，就是說 D中任意兩點(diǎn)都可以用完全屬于 D的一條折線連接起來 . 區(qū)域加上它的邊界稱為閉域。 則曲線方程可記為： z=z(t)， a≤t≤b 2239。( ) [ , ] [ 39。( ) ] 0.x t y t C a b x t y t? ? ?若 、 且則 稱 曲 線 為 光 滑該 的49 有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線 . 重點(diǎn) 設(shè)連續(xù)曲線 C： z=z(t)， a≤t≤b， 對于 t1∈ (a， b), t2 ∈ [a, b],當(dāng) t1≠t2時(shí)，若z(t1)=z(t2)，稱 z(t1)為曲線 C的重點(diǎn)。若簡單曲線 C 滿足 z(a)=z(b)時(shí)，則稱此曲線 C是簡單 閉 曲線或 Jordan閉 曲線 。 I(C)一個(gè)是有界區(qū)域，稱為 C的內(nèi)部； E(C)一個(gè)是無界區(qū)域，稱為 C的外部； 若簡單折線Ｐ的一個(gè)端點(diǎn)屬于 I(C) ，而另一個(gè) 端點(diǎn)屬于 E(C)則Ｐ必與Ｃ有交點(diǎn) . 52 2. 單連通域與多連通域 z(a)=z(b) C 內(nèi)部 外部 邊界 定義 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域 D，如果 D內(nèi)的任何簡單閉曲線的 內(nèi)部總在 D內(nèi)，就稱 D為單連通 域；非單連通域稱為多連通域 . 53 例如 |z|R（ R0）是單連通的； 0≤r|z|R是多連通的 . 單連通域 多連通域 多連通域 單連通域 54 復(fù)變函數(shù) 復(fù)變函數(shù)的定義 定義 ).(, zfwzwivuwEzfiyxzE???????記作）的函數(shù)（簡稱復(fù)變函數(shù)是復(fù)變數(shù)則稱復(fù)變數(shù)與之對應(yīng)就有一個(gè)或幾個(gè)使得存在法則的非空集合是一個(gè)復(fù)數(shù)設(shè)() ( )E z w f zE z w f z??中 每 一 個(gè) 則 單 數(shù)中 存 在 個(gè) 則 數(shù)若 一 值 ， 是 值 函 。 ( , )( ) ( ) ( , ) ( , )z x iy x y w u iv u vw f z f x iyu x y iv x y? ? ? ? ? ?? ? ???因 為則),(),( yxvvyxuu ??故),(),()( yxvvyxuuivuzfw ??????56 例 1 將定義在全平面上的復(fù)變函數(shù) 化為一對二元實(shí)變函數(shù) . 12 ?? zw解 設(shè) ， ，代入 得 iyxz ?? ivuw ?? 12 ?? zw??? ivuw 1)( 2 ?? iyx 22 12x y ix y? ? ? ?比較實(shí)部與虛部得 ， 122 ??? yxu xyv 2?57 例 3 ?????????????????????? 2222 1111)(yxiyyxxzf若已知.)( 的函數(shù)表示成將 zzfzzzf 1)( ??)(21),(21, zziyzzxiyxz ?????? 則設(shè)例 2 ? ? ? ?2,0 , 2 , r g 0nw z w z w zw z z n w A z z? ? ?? ? ? ? ?都 為 單 值 函 數(shù) 。與集合是一一的。 上不連續(xù)。在原點(diǎn)沒有定義， ar g)()1( zzf ??證明 x y (z) o z z )0,( xP?77 定理 5 若函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，函數(shù) 在 連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) 在 處連續(xù)（證略） . )( zgh ? 0z)(hfw ? )( 00 zgh ?)]([ zgfw ? 0z最值性質(zhì) 當(dāng) 在有界閉區(qū)域 上連續(xù)時(shí)，則 也在 上連續(xù)， 且可以取得最大值和最小值； )(zf D?|)(| zf ),(),( 22 yxvyxu ? D有界性 在 上有界，即存在一正數(shù) ， 使對于 上所有點(diǎn)，都有 . |)(| zf D MD |)(| zf M?78 定理 6 在有界閉集 E上連續(xù)的函數(shù) f(z),具有下 列三個(gè)性質(zhì) : (1) 在 E上 f(z)有界 ,即有常數(shù) M0,使 |f(z)|M (z屬于 E)。 (3) f(z)在 E上一致連續(xù) ,即任給 ε0,有 δ0, 使對 E上滿足 |z1z2|δ,的任意兩點(diǎn) z1,z2 均有 |f(z1)f(z2)|ε. 79 2. 無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 80 復(fù)球面與無窮大 : 在點(diǎn)坐標(biāo)是 (x,y,u)的三維空間中，把 xOy面 看作是 z面。 我們可以建立一個(gè)復(fù)平面 C到 S{N}之間的一 個(gè) 11對應(yīng) （ 球極射影 ） ： iyxzuyx ????? ,122239。39。 2???zzzx1||39。22???zzuuxy)1,0,0(N)1,0,0( ?SO)0,( yxA)39。,39。 uyxA ( , , 0) ,? ( 39。, 39。 : 39。 1 ) 。 ?}{??C ?Cuxy)1,0,0(N)1,0,0( ?SO)0,( yxA)39。,39。 uyxA83 關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn) ， 我們規(guī)定其實(shí)部 、 虛部 、輻角無意義 ， 模等于： 它和有限復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算為： ???? ||??????? aa)0( ???????? aaa)(0 )