復(fù)變函數(shù)與積分變換-閱讀頁(yè)
2025-05-31 07:05本頁(yè)面
【正文】 無(wú)特別聲明 , 所討論的函數(shù)均為單值函數(shù) . 2. 映射的概念 函數(shù) w=f (z) 在幾何上可以看做是把 z平面上的一個(gè)點(diǎn)集D(定義集合 )變到 w平面上的一個(gè)點(diǎn)集 G (函數(shù)值集合 )的映射 (或 變換 ). 如果 D 中的點(diǎn) z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的點(diǎn) w, 則 w 稱為 z 的 象 (映象 ), 而 z 稱為 w 的 原象 . x u D G Z z w W=f(z) v y W 設(shè)函數(shù) w = z =x – iy 。 B39。 w1 w2 設(shè)函數(shù) w = z2 = (x+iy)2 = x2?y2+i2xy , 有 u = x2?y2, v = 2xy x y O u v O z1 z2 w2 z3 w3 w1 123121ziziz?????1231341wwiw??? ? ??I m 0R e 01zyzxz?????22I m 2 01w x yw u v??? ? ? 函數(shù) w=z2 對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù) : u=x2?y2, v=2xy 把 z 平面上的兩族 雙曲線 x2?y2 = c1 , 2xy = c2 分別映 射成 w平面上的兩族平行直線 u=c1 , v=c2 . 10 1 ?1 ?1 ?10 ?8 ?6 ?4 ?2 x 2 4 6 8 v=10 1 y ?10 ?8 ?6 ?4 ?2 u=0 2 4 6 8 u v 10 10 ?10 ?10 如果函數(shù) (映射 ) w=f (z) 與它的反函數(shù) (逆映射 ) z =j (w)都是單值的 , 則稱函數(shù) (映射 ) w =f (z)是一一的 . 此時(shí) , 我們也稱集合 D與集合 G是一一對(duì)應(yīng)的 . 舉例 ： 曲線在映射下的像 例題 1 ?8: 122 ???? ???? ? zwyxC11z x iyw u iv? ? ? ?? 22 vuivu???2222 , vuvyvuux??????81: 22 ???? vu?: 2 ???? ??? ?? bzwRzC例題 2 Rbwzbw 2:2 ??????例題 3 ?)2(: 2 ??? ???? ? zwtizC22 )43(])2[( titiw ???? uv34: ???例題 4 ?: ??? ??? ? izwxyC)( ixxiw ?? ixx ??? uv ???? :167。等價(jià)定義 ： 設(shè) f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 則 0000000l im ( , )l im ( ) .l im ( , )xxyyzzxxyyu x y uf z Av x y v??????????? ?????運(yùn)算性質(zhì) ： )(l i m)(l i m))()((l i m)1(000zgzfzgzf zzzzzz ??? ???)(lim)(lim)()(lim)2(000zgzfzgzf zzzzzz ??? ??????? ??????0)(lim)(lim)(lim)()(lim)3(0000zgzgzfzgzfzzzzzzzz當(dāng) z?0 時(shí)的極限不存在 例 1 證明函數(shù) R e ( )()||zfzz?[證 ] 令 z = x + i y, 則 22( ) ,xfzxy??由此得 22( , ) , ( , ) 0 .xu x y v x yxy???讓 z 沿直線 y = k x 趨于零 , 我們有 2200( ) ( )l im ( , ) l imxxy k x y k xxu x yxy???????2 2 201l im .( 1 ) 1xxk x k?????故極限不存在 . 2. 函數(shù)的連續(xù)性 定義 )()(l i m 00zfzfzz ??如果 則說(shuō) f (z)在 z0 處 連續(xù) . 如果 f (z) 在區(qū)域 D內(nèi)處處連續(xù) , 我們說(shuō) f (z) 在 D內(nèi)連續(xù) . 函數(shù) f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0處連續(xù)的充要條件是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)處連續(xù) . 性質(zhì)： (1)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算仍然連續(xù)； (2)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然連續(xù)； (3)連續(xù)函數(shù)的模也連續(xù)； (4)有界閉區(qū)域 D上的連續(xù)函數(shù)必有界 ， 且其模 在 D上取到最大值與最小值 。 x 0 0 2p2p2p?2p?pp??a r ga r gzzpp? ? ?在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，a r g z p?在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。
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