專升本高數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)-資料下載頁(yè)
2025-05-12 05:31本頁(yè)面
【正文】 必為駐點(diǎn)，而駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。 什么條件下駐點(diǎn)必為極值點(diǎn)呢？ 。即處的導(dǎo)數(shù)為零，在點(diǎn)處取得極值，那么點(diǎn)處可導(dǎo)，且在在點(diǎn)設(shè)函數(shù)必要條件定理0)()()()(.20000?? xfxxfxxxf的駐點(diǎn)。的點(diǎn)，稱為函數(shù) )(0)( xfxf ??3 . ( )定 理 第 一 充 分 條 件00( ) ( ) 0f x x f x? ?設(shè) 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 某 個(gè) 鄰 域 內(nèi) 可 導(dǎo) ， 且000( 1 ) ( ) ( )x x f xf x x?如 當(dāng) 從 左 至 右 經(jīng) 過(guò) 時(shí) ， 由 正 變 負(fù) ，則 為 極 大 值 ， 為 極 大 值 點(diǎn) 。000( 2) ( ) ( )x x f xf x x?如 當(dāng) 從 左 至 右 經(jīng) 過(guò) 時(shí) ， 由 負(fù) 變 正 ，則 為 極 小 值 ， 為 極 小 值 點(diǎn) 。00(3 ) ( ) ( )x x f xfx?如 當(dāng) 從 左 至 右 經(jīng) 過(guò) 時(shí) ， 不 變 號(hào) ，則 不 是 極 值 。4 . ( )定 理 第 二 充 分 條 件00()( ) 0f x xfx? ?設(shè) 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 某 個(gè) 鄰 域 內(nèi) 具 有 二 階 導(dǎo) 數(shù) ，且00( 1 ) ( ) 0 ( )f x f x x?? ?當(dāng) 時(shí) ， 函 數(shù) 在 處 取 得 極 大 值 ；( 2 ) ( ) 0 ( )f x f x x?? ?當(dāng) 時(shí) ， 函 數(shù) 在 處 取 得 極 小 值 ；00( 3 ) ( ) 0 ( )f x f x?? ?當(dāng) 時(shí) ， 不 能 確 定 是 否 為 極 值 。234 . ( ) ( 1 )f x x x??例 求 函 數(shù) 的 極 值 。325 . ( )f x x x??例 求 函 數(shù) 的 極 值 。1 2 1 21 2 1 2( ) [ , ]( 1 ) , [ , ] ,( ) ( ) ( )22()f x a bx x a b x xx x f x f xffx? ? ????定 義 ： 設(shè) 函 數(shù) 在 上 有 定 義如 果 當(dāng) 時(shí) ，有則 稱 的 圖 象 是 凹 的 。x1 x2 y 0 x y 0 x1 x2 x 1 2 1 21 2 1 2( 2) , [ , ] ,( ) ( )()22()x x a b x xx x f x f xffx? ? ????如 果 當(dāng) 時(shí) ，有則 稱 的 圖 象 是 凸 的 。3. 曲線的凹凸性 用定義來(lái)判定函數(shù) f (x)的圖形是凹還是凸是非常困難的，下面給出充分條件。 6. ( ) [ , ]( 1 ) ( ) 0 ( ) [ , ]( 2) ( ) 0 ( ) [ , ]f x a bf x f x a bf x f x a b?? ??? ?定 理 設(shè) 函 數(shù) 在 內(nèi) 具 有 二 階 導(dǎo) 數(shù)當(dāng) 時(shí) ， 函 數(shù) 的 圖 象 在 上 是 凹 的 。當(dāng) 時(shí) ， 函 數(shù) 的 圖 象 在 上 是 凸 的 。226 . ( )1xfxx? ?例 試 求 函 數(shù) 的 凹 凸 區(qū) 間 。4. 曲線的拐點(diǎn) 我們把曲線凹凸性發(fā)生轉(zhuǎn)變的轉(zhuǎn)折點(diǎn)稱為拐點(diǎn)。 000000007. ( )( ) 0( 1 ) ( ) ( , ( ) ) ( )( 2) ( ) ( , ( ) ) ( )f x xfxx x f xx f x y f xx x f xx f x y f x?? ???????定 理 設(shè) 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 某 個(gè) 鄰 域 內(nèi) 具 有二 階 導(dǎo) 數(shù) ， 且如 當(dāng) 從 左 至 右 經(jīng) 過(guò) 時(shí) ， 變 號(hào) ，則 是 曲 線 的 拐 點(diǎn) 。如 當(dāng) 從 左 至 右 經(jīng) 過(guò) 時(shí) ， 保 號(hào) ，則 不 是 曲 線 的 拐 點(diǎn) 。27 . l n ( 1 )yx??例 求 曲 線 的 凹 凸 區(qū) 間 及 拐 點(diǎn) 。538. ( 2)yx??例 求 曲 線 的 拐 點(diǎn) 。2）水平漸近線 1）垂直漸近線 5. 曲線的漸近線 的漸近線。曲線為的距離趨于零，則稱上的點(diǎn)與曲線時(shí)，或，當(dāng)定義：如果存在直線)()()(0xfyLLxfyxxxL?????的垂直漸近線。為曲線則稱直線如果 )()(l i m 00xfyxxxfxx?????的水平漸近線。為曲線則稱直線如果 )()(l i m xfybybxfx?????2229.1xxyx???例 求 曲 線 的 漸 近 線 。32( 1 )10.( 1 )xyx???例 求 曲 線 的 漸 近 線 。6. 最大值、最小值問(wèn)題 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)必能取到最大值、最小值。 最大 (小 )值必在端點(diǎn)或極大 (小 )點(diǎn)處取到。 所以只要計(jì)算端點(diǎn)值和可能極值點(diǎn)的函數(shù)值加以比較即可。 11 1 . ( ) a r c ta n [ 0 , 1 ]1xfxx???例 求 函 數(shù) 在 上 的 最 大 值和 最 小 值 。312 . ( ) 1 [ 0 , 2]f x x x??例 求 函 數(shù) 在 上 的 最 大 值和 最 小 值 。13. R例 求 內(nèi) 接 于 半 徑 為 的 球 的 正 圓 錐 的 最 大 體 積
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