【正文】 n2 2 ?? 。 知識(shí)點(diǎn) ：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 思路 ：利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，用導(dǎo)數(shù)為零的 點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性；如果劃分定義域的點(diǎn)有兩個(gè)或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。 解 ：（ 1） 1331 23 ???? xxxy 的定義域?yàn)?)( ????, ；令 2 2 3 0y x x?? ? ? ?， 得 11 ??x ， 32?x 。列表討論如下： x )1( ???, 1? )31( ,? 3 )3( ??, ()fx? ? 0 － 0 ? )(xf ↗ ↘ ↗ 由上表可知， 1331 23 ???? xxxy 在 )1( ???, 、 )3( ??, 內(nèi)嚴(yán)格單增，而在 )31( ,? 內(nèi)嚴(yán)格單減。 （ 2） 在 )0( ??, 內(nèi)，令2820y x?? ? ?，得 2?x ； 當(dāng) )20( ,x? 時(shí)，有 0y?? ；當(dāng) )2( ??? ,x 時(shí)，有 0y?? ； ∴ )0(82 ??? xxxy 在 )20(, 內(nèi)嚴(yán)格單增，在 )2( ??, 內(nèi)嚴(yán)格單減。 （ 3） 3 232 xxy ?? 的定義域?yàn)?)( ????, ；令 1 3332 2 2 ( 1 ) 033 3 xyx x? ?? ? ? ? ?， 得 1?x ； 0?x 為不可導(dǎo)點(diǎn)。列表討論如下： x )0( ,?? 0 )10(, 1 )1( ??, ()fx? ? 0 － 0 ? )(xf ↗ ↘ ↗ 由上表可知， 3 232 xxy ?? 在 )0( ,?? 、 )1( ??, 內(nèi)嚴(yán)格單增，而在 )10(, 內(nèi)嚴(yán)格單減。 （ 4） )1ln( 2xxy ??? 的定義域?yàn)?)( ????, ， 2 2 211(1 )1 1 1xy x x x x? ? ? ?? ? ? ?0? ， ∴ )1ln( 2xxy ??? 在 )( ????, 內(nèi)嚴(yán)格單增。 （ 5） xxy )1( ?? 的定義域?yàn)?)0[ ??, ， ∵ 32 3( ) 1 02y x x x??? ? ? ? ?， ∴ xxy )1( ?? 在 )0[ ??, 上嚴(yán)格單增。 （ 6） xxy ln2 2 ?? 的定義域?yàn)?)0( ??, ，令 21 4 140xyx xx?? ? ? ? ?，得 21?x ； 當(dāng) )210( ,x? 時(shí)， 0y?? ；當(dāng) )21( ??? ,x 時(shí)， 0y?? ； ∴ xxy ln2 2 ?? 在 )210(, 內(nèi)嚴(yán)格單增，在 )21( ??, 內(nèi)嚴(yán)格單減。 ★★ ： （ 1） 當(dāng) 0?x 時(shí)， xx ??? 1211 ； （ 2）當(dāng) 4?x 時(shí)， 22 xx ? ； （ 3）當(dāng) 0?x 時(shí)， xxx a r c ta n)1ln ()1( ??? ； （ 4） 20 πx?? 時(shí)， 331tan xxx ?? 。 知識(shí)點(diǎn) ：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用或者泰勒公式的應(yīng)用。 思路 ：利用泰勒公式可 以證明一些不等式（見習(xí)題 33 第 10 題），利用函數(shù)單調(diào)性也是證明不等式常用的方法。 解 ：（ 1） 方 法一 ：令 xxxf ???? 1211)( ， 則當(dāng) 0?x 時(shí)， 11()2 21fx x? ?? ? )111(21 x??? 0?， ∴ xxxf ???? 1211)( 在 )0[ ??, 上嚴(yán)格單增；從而 0)0()( ?? fxf ， 即 xx ??? 1211 ，結(jié)論成立。 方 法 二：由泰勒公式，得 232232)1(8))1(8211(2111211)(ξxξxxxxxxf???????????? （ xξ??0 ）， ∴ 0)1(8)(232 ???ξxxf ， 從而 得 xx ??? 1211 ，結(jié)論成立。 （ 2） 方法一 ：令 22)( xxf x ?? ，則當(dāng) 4?x 時(shí)， ( ) 2 ln 2 2xf x x? ??， 2 2 2 2 2 2( ) 2 l n 2 2 ( 4 ) 1 6 l n 2 2 ( l n 4 ) 2 ( l n ) 2 0xf x f e?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ ( ) 2 ln 2 2xf x x? ??在 )4( ??, 內(nèi)嚴(yán)格單增， 從而 ( ) 2 l n 2 2 ( 4) 16 l n 2 4 4( l n 16 1 ) 0xf x x f??? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 22)( xxf x ?? 在 )4( ??, 內(nèi)嚴(yán)格單增，在 )4( ??, 內(nèi) 08)4(2)( 2 ????? fxxf x ， ∴ 22 xx ? ，結(jié)論成立。 注 ：利用 ()fx?? 的符號(hào)判斷 ()fx? 的單調(diào)性，利用 ()fx? 的單調(diào)性判斷其在某區(qū)間上的符號(hào)，從而得出)(xf 在某區(qū)間上的單調(diào)性，也是常用的一種方法。 方 法二 ：令 xxxf ln22ln)( ?? ， 當(dāng) 4?x 時(shí)， 0214ln21212ln22ln)(/ ??????? xxf ， ∴ xxxf ln22ln)( ?? 在 )4( ??, 內(nèi)嚴(yán)格單增， ∴ 04ln22ln4)4(ln22ln)( ?????? fxxxf ，從而有， xx ln22ln ? ， ∴ xx ee ln22ln ? ，即 22 xx ? ，結(jié)論成立。 （ 3）令 xxxxf a r c t a n)1l n ()1()( ???? ， 則當(dāng) 0?x 時(shí)有21( ) l n (1 ) 1 01f x x x? ? ? ? ? ??（僅在 0?x 時(shí)， ( ) 0fx? ? ）， ∴ )(xf 在 )0[ ??, 上嚴(yán)格單增，從而有 0)0()( ?? fxf ， 即 xxx a r c ta n)1ln ()1( ??? ，結(jié)論成立。 （ 4）令 xxxg ?? tan)( ，則當(dāng) 20 πx?? 時(shí)，有 22( ) se c 1 ta n 0g x x x? ? ? ? ? 從而 xxxg ?? tan)( 在 )20( π, 內(nèi)嚴(yán)格單增， ∴ 0)0()( ?? gxg ，即 在 )20( π, 內(nèi) xx?tan ； 再令 331tan)( xxxxf ??? ， 則當(dāng) 20 πx?? 時(shí)， 2 2 2 2( ) se c 1 ta n 0f x x x x x? ? ? ? ? ? ?， 從而 331tan)( xxxxf ??? 在 )20( π, 內(nèi)嚴(yán)格單增， ∴ 0)0()( ?? fxf ， 即在 )20( π, 內(nèi) 331tan xxx ?? ，結(jié)論成立。 ★★★ xx?sin 只有一個(gè)實(shí)根。 知識(shí)點(diǎn) ：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 思路 ：利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷 函數(shù)的 單調(diào)性，進(jìn)而討論方程的根是常用的方法。 解 ：易知， 00sin ? ，即 0?x 是方程的一個(gè)根； 令 xxxf sin)( ?? ，則 ( ) 1 cos 0f x x? ? ? ?（僅在 )(2 Zkkπx ?? 處 ( ) 0fx? ? ）， ∴ xxxf sin)( ?? 在 )( ????, 內(nèi)嚴(yán)格單增，從而 )(xf 只有一個(gè)零點(diǎn)， 即方程 xx?sin 只有一個(gè)實(shí)根。 ★★ ？研究例子： xxxf sin)( ?? 。 知識(shí)點(diǎn) ：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 思路 ：利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷單調(diào)性，從而證明結(jié)論。 解 ：單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定為單調(diào)函數(shù)。 ∵ ( ) 1 cos 0f x x? ? ? ?（僅在 )()12( Zkπkx ??? 處 ( ) 0fx? ? ）， ∴ xxxf sin)( ?? 在 )( ????, 內(nèi)嚴(yán)格單增； 而 ( ) 1 cosf x x? ?? 在 ))12(,2( πkkπ ? 內(nèi)嚴(yán)格單減，在 )2,)12(( kππk ? 內(nèi)嚴(yán)格單增，從而在)( ????, 上不單調(diào)。 ★★ ： （ 1） )0(1 ??? xxxy ； （ 2）12 ??? x xxy ； （ 3） xxy arctan? ； （ 4） xexy ??? 4)1( ； （ 5） )1ln( 2 ?? xy ； （ 6） xey arctan? 。 知識(shí)點(diǎn) ：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 思路 ：利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的凹凸性；求拐點(diǎn)和凹凸區(qū)間，用二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的凹凸性；如果劃分定義域 的點(diǎn)有兩個(gè)或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。 解 ：（ 1）211y x???，22y x???， ∵ 當(dāng) 0?x 時(shí)， 0y??? ， ∴ xxy 1?? 在 )0[ ??, 上為凹函數(shù)，沒有拐點(diǎn)。 （ 2）12 ??? x xxy的定義域?yàn)?)1()11()1( ?????? , ?? ； 22211 ( 1)xy x ???? ?， 2232 ( 3)( 1)xxy x ??? ? ?， 令 0y??? ，得 0?x ； 當(dāng) 1??x 或 10 ??x 時(shí)， 0y??? ；當(dāng) 01 ??? x 或 1?x 時(shí)， 0y??? ； ∴ 12 ??? x xxy的凹區(qū)間為 )01( ,? 、 )1( ??, ，凸區(qū)間為 1),( ??? 、 1),0( ； ∴ 拐點(diǎn) 為 )00(, 。 （ 3） xxy arctan? 的定義域?yàn)?)( ????, ，2arcta n 1 xyx x????，222 0(1 )y x?? ???， ∴ xxy arctan? 在整個(gè)定義域上為凹函數(shù)，沒有拐點(diǎn)。 （ 4） xexy ??? 4)1( 的定義域?yàn)?)( ????, ， 34( 1) xy x e?? ? ?， 212( 1) xy x e?? ? ? ?0? ， ∴ xexy ??? 4)1( 在整個(gè)定義域上為凹函數(shù)，沒有拐點(diǎn)。 （ 5） )1ln( 2 ?? xy 的定義域?yàn)?)( ????, ，221 xy x?? ?， 2222(1 )(1 )xy x??? ? ?， 令 0y??? ，得 121 ??,x ； 列表討論如下： x )1( ???, 1? )11( ,? 1 )1( ??, ()fx?? － 0 ? 0 － )(xf ? ? ? 由上表可知， )1ln( 2 ?? xy 的凸區(qū)間為 )1( ???, 、 )1( ??, ，凹區(qū)間為 )11( ,? ，拐點(diǎn)為 )2ln1( ,?及 )2ln1(, 。 （ 6） xey arctan? 的定義域?yàn)?)( ????, ， arctan21xey x?? ? ，22(1 2 )(1 )arcanxexyx??? ? ?， 令 0y??? ，得 21?x ； 當(dāng) 21?x 時(shí)， 0y??? ； 當(dāng) 21?x 時(shí)， 0y??? ； ∴ xey arctan? 的凹區(qū)間為 ]21( ,?? ，凸區(qū)間為 )21[ ??, ，拐點(diǎn)為 )21( 21arctan,e 。 ★★★ ，證明不等式： （ 1） )(2 2 yxeee yxyx ??? ? ； （ 2） )22(2 c osc os2c os π,πx ,y,yxyx ?????? 。 知識(shí)點(diǎn) ：函數(shù)凹凸性的概念。 思路 ：利用函數(shù)凹凸性的概念可證明一些不等式，特別是不等式中含不同變量的線性組合及其函數(shù)值的線性組合時(shí)可考慮利用函數(shù)的凹凸性。 證明 ：（ 1）令 xey? ， ∵ 0xye????， ∴ xey? 在 )( ????, 內(nèi)是凹的。 利用凹函數(shù)的定義， )( ?????? ,x,y )( yx? ，有 22 yxyx eee ??? ，結(jié)論成立。 （ 2）令 xy cos? ， ∵在 )22( π,π? 內(nèi)， cos 0yx?? ?? ? ， ∴ xy cos? 在 )22( π,π? 內(nèi)是凸的。利用凸函數(shù)的定義， )22( π,πx,y ??? )( yx? ，有 2 c osc os2c os yxyx ??? ，結(jié)論成立。 ★★★ 112 ???xxy的拐點(diǎn)。 知識(shí)點(diǎn) ：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 思路 ：同 7。 解 ： 112 ???xxy的定義域?yàn)?)( ????, ， 22212(1 )xxy x???? ?， 2 2 2 2 22 4 2 3( 2 2 ) ( 1 ) ( 1 2 ) 4 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 4 1 )( 1 ) ( 1 )x x x x x x x x xy xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ?? 令 0y??? ，得 11 ??x ， 3232 ??,x ；現(xiàn)列表討論如下： x )1( ???, 1? )321( ?? , 32? )3232( ?? , 32? )32( ??? , ()fx?? － 0 ? 0 － 0 ? )(xf ? ? ? ? 由上表可知，拐點(diǎn)為 )11( ??, 、 )348 3132( ??? ,、 )348 3132( ??? ,。 ★★ a 及 b 為何值時(shí)，點(diǎn) )31(, 為曲線 23 bxaxy ?? 的拐點(diǎn)？ 知識(shí)點(diǎn) ：導(dǎo)數(shù)