【正文】 21 2/ty tx （ 2）?????? ??? ；，ty tx 11 11 （ 3）??? ?? ；ty txttcose ,sine （ 4）??? ?? ?? .arctan)1ln( 2 tty tx ， 解： （ 1）因為 ttxtty ????? )(3)( 2， ，所以 ttttx tyxy 33)( )(dd2 ??????? ． （ 2）因為ttxtty ?????? 12 1)(12 1)( ，所以ttxy ??? 12 12dd tt??? 11． （ 3）因為 tttxttty tttt c o ses i ne)(s i nec o se)( ?????? ， 所以 xydd tt tttt tttttt s inc os s inc oss inec ose s inec ose ?????? ，或?qū)懽?ttxy 2sin1 2cosdd ?? ． （ 4）因為2222 1 2)(11 11)( tttxtttty ????????? ，所以 ???? )1/(2 )1/(dd 222tt ttxy 2t． 8． 寫出下列曲線在所指定點處的切線方程： （ 1）??? ??? ， 2232 tty tx在點 )12(， 處； （ 2） cos ,cos2 ,xtyt??? ?? 在 4??t 處． 解： （ 1）切點 )12(， 對應(yīng)參數(shù) 1?t ，切線斜率 212 43dd11 ????? ?? tt txyk， 切線方程為 )2(211 ???? xy ，即 042 ??? yx ． （ 2）將 4??t 代入方程，得切點為 )02/2( ， ， 切線斜率 22s i n 2s i n2dd 44 ????? ?? ?? tt x xxyk， 切線方程為 )2/2(220 ??? xy ，即 0222 ??? yx ． 9． 求由下列參數(shù)方程所確定的函數(shù) )(xyy? 的二階導(dǎo)數(shù)22ddxy ： （ 1）??? ??? ； ，ty tx 1 2/2 （ 2）??? ??? ?； ，tttyx ee （ 3）??? ?? ；，tby tax sincos （ 4）??? ? ?? .cos1 2ty tx ， 解： （ 1）tt txy tt 1)2/( )1(dd 2 ?????，3222 1/1)(/)1(dd ttttxtx yt ??????． （ 2） )1(e)e( )e(dd 2 ttxy ttt tt ???? ?? ?， )23(ee )23(e)( ])1(e[dd 32222 tttx tx y ttttt ????? ????． （ 3） tabta tbxy tt c ot)c os( )s in(dd ?????， ta btatabtxtabx y t 32222 s i n)s i n/(c s c)(/)c ot(dd ???????? ． （ 4）t tttxy tt 2s in)1( )(c osdd 2 ???? ??， 3222 4 c oss i n2/s i nc os21)(/)2s i n(dd t ttttt ttttxt tx yt ?????????． 習(xí)題 2— 5（ B） 1． 有一長度為 5m 的梯子鉛直地靠在墻上，假設(shè)其下端以 3m/min 的速率沿 地板離開墻腳而滑動 ．問當(dāng)其下端離開墻腳 2m 時，梯子上端下滑的速率為多少？ 解： 設(shè)時刻 t 時梯子上端距墻腳 y m，下端距墻腳 x m，則 2522 ?? yx ，兩邊同時對時間 t求導(dǎo)，有 0dd2dd2 ?? tyytxx ，將 3dd212 ??? txyx 、 代入，有 0dd21212 ?? ty ，得 ????ty ，即 梯子上端下滑的速率大約為 min/m ． 2． 一 個 氣球從距觀察員 500 m 處離開地面鉛直上升，其上升速率為 120 m/min，當(dāng)氣球升高到 500 m 時，求觀察員視線的仰角 ? 的增加速率． 解： 設(shè)時刻 t 時氣球的高度為 h ，則 500arctan h?? （觀察員身高忽略不計），兩邊同時對時間 t 求導(dǎo)，有thhthht dd500 500dd)500/(1 15001dd 222 ?????，將 500?h 120dd ?th， 代入，得 ??t?， ，即觀察員視線的仰角 ? 的增加速率為 (rad/min)． 3． 一正圓錐形水池，深 8m ，上口直徑也為 8m ，現(xiàn)以 min/m3 3 速率向水池內(nèi)注水，當(dāng)水深為 5m 時，求水面上升的速率． 解： 設(shè)時刻 t 時容器內(nèi)水深為 h ，水的體積為 V ，此時水面的直徑 hd? ，則 123?hV? ，兩邊同時對時間 t 求導(dǎo)，有 thhtV dd4dd 2?? ，將 3dd5 ?? tVh ， 代入，有 thdd4253 ?? ，得 ?thdd ?? ， 即 水面上升的速率 大約為 (m/min)． 4． 設(shè)函數(shù) ])([ 2yxfu ?? ? ，其中函數(shù) )(),( xvf ? 均可微 ． 又函數(shù) )(xyy? 由方程xy y ??e 確定，求 xudd ． 解： 方程 xy y ??e 兩邊同時對 x 求導(dǎo)，有 1ddedd ?? xyxy y ，得yxy e1 1dd ??，所以 ]e1 2)(][)([]dd2)(][)([dd 22 yyxyxfxyyxyxfxu ??????????? ???? . 5． 設(shè)函數(shù) )(xyy? 由方程 )(yyx ??? 確定， 其中 )(y? 可導(dǎo)，且 1)( ?? y? ，求22ddxy ． 解： 方程 )(yyx ??? 兩邊同時對 x 求導(dǎo)，有 xyyxy dd)(dd1 ???? ，得)(1 1dd yxy ????， 所以3222)](1[ )(dd)](1[ )(dd yyxyyyx y ???? ?? ????? ?????． 6． 設(shè)函數(shù) )(xyy? 由方程??? ?? ?? )cos( )1ln( tyy tx ，確定，求 xydd ． 解： 等式 )cos( tyy ?? 兩邊同時對 t 求導(dǎo)，有 ]1)([)s in ()( ??????? tytyty ，得 )sin(1 )sin()( ty tyty ?? ????，而 ttx ??? 11)( ，所以)s in(1 )s in()1()( )(dd ty tyttx tyxy ?? ???????． 總習(xí)題二 1． 填空題： （ 1）若 2)1(0)1( ??? ff ， ，則極限 ??? xxfx 1 )(lim1 ； （ 2）若 )(xf 是可導(dǎo)的偶函數(shù)，且 axf ?? )( 0 ，則 ??? )( 0xf ； （ 3）若函數(shù) )(xf 可微，則極限 ?????? x yyx dlim0 ； （ 4）若曲線 nxxfy ?? )( 在點 )1,1( 處的切線與 x 軸的交點為 )0( ，n? ，則 ??? )(lim nn f ? ； （ 5）設(shè)??? ?? ?? ).1e( ,)( 3tfy tfx ?其中函數(shù) )(uf 可微， 0)0( ??f ，則 ??0dd txy ． 解： （ 1） ??????????? )1(1 )1()(l i m1 )(l i m 11 fx fxfxxf xx2? ，填： 2? ． （ 2）由已知得 )(xf? 是奇函數(shù)，所以 ?????? )()( 00 xfxf a? ，填： a? ． （ 3）由 )(xf 可微，有 )(d xoyy ???? ，所以 0)(limdlim00 ??????? ???? xxox yy xx，填： 0 ． （ 4 ） nnxy xn ??? ?? 11)1( ，所以 曲線 nxxfy ?? )( 在點 )1,1( 處的切線方程為)1(1 ??? xny ，令 0?y ，得切線與 x 軸的交點的橫坐標(biāo) 為 nn 11??? ， 所以 e1e)11(l i m)(l i m 1 ???? ????? nnnn nf ? ，填： e1 ． （ 5）)( )1e(e3dd33tffxytt ? ??? ， ????? ??? ?? )0( )0(3)( )1e(e3dd 0330 fftffxy tttt3 ，填： 3 ． 2． 單項選擇題： （ 1）函數(shù)??? ??? 0, ,0,)( xx xxxf在點 ?x 處（ ）； （ A）連續(xù)，且可導(dǎo)； （ B）連續(xù)，但不可導(dǎo)； （ C）不連續(xù)，也不可導(dǎo)； （ D）不連續(xù)，但左、右導(dǎo)數(shù)存在． （ 2）設(shè)函數(shù) )(xf 在 ax? 點的一個鄰域內(nèi)有定義，則 )(xf 在 ax? 點可導(dǎo)的充分條件是極限（ ）存在； （ A） )]()1([lim afhafhh ?????； （ B） h hafhafh )()2(lim0 ????； （ C） h hafhafh 2 )()(lim0 ????； （ D） h hafafh )()(lim0 ???． （ 3）若函數(shù) )(xf 在 ax? 點可導(dǎo)，則 )(xf 在 ax? 點不可導(dǎo)的充分條件是（ ）． （ A） 0)( ?af 且 0)( ??af ； （ B） 0)( ?af 且 0)( ??af ； （ C） 0)( ?af 且 0)( ??af ； （ D） 0)( ?af 且 0)( ??af ． （ 4）設(shè)曲線 )(xfy? 與曲線 xy sin? 在原點相切，則極限 )2(limnnfn ??為（ ）； （ A） 1； （ B） 2 ； （ C） 2 ； （ D） 2/2 ． （ 5）設(shè)函數(shù) xxxf 2)( ? ，使得 )0()(nf 存在的最大自然數(shù) ?n （ ）． （ A） 0； （ B） 1； （ C） 2； （ D） 3． 解： （ 1）選 B，事實上：由 0)0(0l i m)0(0l i m)0(00 _ ????? ????? fxfxf xx ，，得 )(xf 在點 0?x 處連續(xù)；又 ?????????????? ???? 00l i m)0(100l i m)0(00 xxfxxfxx ，；右導(dǎo)數(shù)不存在， 函數(shù)在 點 0?x 處 也 不可導(dǎo) . （ 2）選 D，事實上：令 xh ??? ，則 x afxafh hafafxh ? ?????? ??? )()(lim)()(lim 00這就 是導(dǎo)數(shù)的定義，它是可導(dǎo)的充分必要條件 . 而 )]()1([lim afhafhh ?????存在，僅 表示右導(dǎo)數(shù)存在 ，所以 A 不正確 ； B、 C 不正確都可以用例子??? ?? ?? ， ， axa axxxf 1)(由于 )(xf 在 ax? 點不連續(xù)，因此 )(xf 在 ax? 點不可導(dǎo)，但是 1l i m)()2(l i m00 ????? ?? hhh hafhaf hh， 122l i m2 )()(l i m00 ????? ?? hhh hafhaf hh都存在， 其 根本原因是兩 個 極限中都沒涉及函數(shù)在 a 點的值 . （ 3）選 B，事實上：由 0)( ?af 且 0)( ??af ，有 ax xfax afxfaxax ??????)(lim)()(lim ；于是)()0()(l i m)()(l i m afax fxfax afxf axax ????????? ?? ?? ， ????? ax afxfax )()(lim )()0()(lim afax fxfax ??????? ， 所以 )(xf 在 ax? 點不可導(dǎo) . A 不成立可用例子 3)( axy ?? ； B 不成立可用例子 axy ??? 1 ； D 不成立可用例子 1??? xay ． （建議本題從幾何直觀考慮） （ 4）選 C，事實上：由 曲線 )(xfy? 與曲線 xy sin? 在原點相切，得 00sin)0( ??f ，1)(sin)0( 0 ???? ?xxf ，所以 2)0