【導讀】A、E為連通域；B、E不是連通域；C、E為單連通域；D、E為復連通域；具有連續(xù)導函數。所確定的函數。??1,2,1處的切線必平行于（）。zyx上點處外法線與Z軸夾角的余弦及切平面與。A、在（4，2）處有極小值Z=6；B、在（4，2）處有極大值Z=6；有三個駐點（0，0）（1，1），則（）。yx下的極值為（）。yx之間的最短距離是（）。，其中D是圓形閉區(qū)域：422??yayax沿逆時針方向，zyx所得截痕，從Z軸的正向往負向看，沿逆時

　　

【正文】 zxxzFzyF 方程兩邊同乘 x2y,得21122 FyFx FyxFyzzx x ??? ????? 由于對稱性，即得21121 FyFx FyxFxzzy y ??? ????? 將兩式相加，便得： xyzyzyxzx ??????? 2．證明：令 32323232),( azyxzyxF ???? 3132 ??? xFx， 3132 ??? yFy， 3132 ??? zFz 故在曲面上任一點 ? ?000 , zyx 處切平面方程為 0)()()( 031003100310 ?????? ??? zzzyyyxxx 在上式中令 0??zy 得切平面在 x軸上的截距為 323103203203100 )( axzyxxx ???? 由曲面的對稱性，可知切平面在 y,z 軸上的截距分別為 32310ayy? ， 32310azz? 故 23234222 aaazyx ????? 3．證明：（用反證法）設有一點 ,),( 000 DyxP ? 而 ,0),( 00 ?yxf 不妨設 ,0),( 00 ?yxf 由),( yxf 的連續(xù)性，可知存在一個 ),( 000 yxP 的鄰域 ,),( 0 DP ?? ? 使得在其中 ,0),( ?yxf 于是，由定積分中值定理，必 ),(),( 0 ??? P??? 使 ,),(),(),( 0 sfdyxfP ??????? ?其中 s 為 ),( 0 ?P?的面積，又因 0),( ???f 故 ??? ?),( 0 0),(? ?P dyxf，與假設矛盾，即知在 D 內有 0),( ?yxf 4．證明：設 ,)( 20 ??????? ?a dxxfI ? ??? ?? a axD dyyfdxxfd x dyyfxfI 01 )()()()(1 ???2)()(2 D dx dyyfxfI 則 210021)()()()( IId x dyyfxfdyyfdxxfI DDaa ???? ???? ? 而 ? ?? ??? ??????????????? a ata ayaya dtdyyftfdydxxfyfdxxfdyyfI0002 )()()()()()( ?? ?? axa Idyyfdxxf 10 )()( 故 12II? 即 ? ?? ???????a aax dxxfdyyfdxxf020 )()()(2 ： ? ???? ??? ?????? by ba nnbaxa nba dyyfybyxndxyxyfdyyfyxdx )()(11])()([)()( 122 ? ???? ba n dyyfybn )()(11 1 6．證明：令 ,22 babyaxu ??? ,22 baaybxv ??? 則 D 變?yōu)?1: 22* ?? vuD 1),(),( 1),( ),( ????????yxvuvu yxJ 故 ??? ??? ???? ????????22*1111 2222 )()()(uuD D dvducubafdudvJcubafd x d ycbyaxf ＝ ducubafu )(12 2211 2 ????? 7．證明：采用極坐標，令 ??cos?x ， ??sin?y ，則 yx fyfxyfxff ???????????? ?????? s inc o s ，于是 ? ? ????? ???????? ???? ? ? ? ????????????? ?? 201 202221)s i n,c o s(*dfdfdddfd x d yyx fyfxIDDyx ＝ ????????? ? dfdf? ??20 20 )s in,c o s()s in,( c o s 因為 ),( yxf 在單位圓的邊界上取值為 0，故 0)sin,(cos ???f ，再利用積分中值定理得 ),s in,c o s(2)s in,c o s( **20 ??????????? fdfI ???? ? 其中 ]2,0[* ?? ? 故 )0,0()s in,c o s()2(2 1lim2 1lim **0220 ffd x d yyx fyfxD yx ????? ???? ?? ?? ??????? ?? ：令 ,yxu ?? ,yxv ?? 則 auvaavua ???????? ,，21),(),( 1),( ),( ???????yxvuvu yxJ 故 ? ??? ? ??? ?????? ????a uaauD auaauD dvduufdvduufdudvufd x d yyxf 00 )(21)(2121)()(* ? ?? ???? 0 0 )()()()(a a duufuaduufua ＝ ?? ???? aa duufuaduufua 00 )()()()( ＝ ?? ?aa dttatf ))(( 9．證明：（判別式法）設 t 為任意實數，則 ? ? 0)()()(2)()()( 2222 ????? xgtxgxtfxfxtgxf ，因而有 ? ? 0)()()(2)()()( 2222 ????? ???? babababa dxxgtdxxgxftdxxfdxxtgxf 上式中間部分是關于實數 t 的二次三項式，故其判別式僅當 042 ???? ACB 時，不等號 才成立，即 ??????????????????? ??? dxxgdxxfdxxgxf bababa )()()()( 222 10．證明：令 ? ??? ?? 10 10 210 3210 3 )()()()( dxxxfdxxfdxxfdxxxfI ???? ??DD d x d yyyfxfd x d yyfxxf )()()()(2323 ?? ??D d x d yyxyfxf ))(()(23 （ 1） 類似處理，又有 ?? ??D d x d yxyyfxfI ))(()(32 （ 2） 將（ 1）＋（ 2），并注意到假設及 0)]()()[( ??? yfxfyx ，就有 ?I2 0)]()()[()()(22 ?????D d x d yyfxfyfxfyx 即 0?I ，故命題成立。 11．證明：考慮二重積分 ????Dyx dxdye )( 22，分別取 D 為 2221 : NyxD ?? , 0,0 ?? yx NxD ??0:2 , Ny??0 2223 2: NyxD ?? , 0,0 ?? yx 因為 0),( )( 22 ?? ?? yxeyxf ，且 321 DDD ?? 故 ?? ???? ?????? ??2 32222122 )()()(D DyxyxDyx d x d yed x d yed x d ye 把左右兩個二重積分化為極坐標下的形式，于是 ??? ??? ???? ?? NN N yxN deddyedxeded 20200 0020 2222 ?????? ???? 即： ??? ??? ???????? N xN xN x x d xedxedxe 20200222 22 ?? 12．證明：設 L 所圍成的閉區(qū)域為 D，由格林公式得 ??? ???DL dx dyxydxxydyyx )]()(1[)()( ???? 因為區(qū)域 D 關于直線 y=x對稱，所以 ???? ?DD d x d yyd x d yx )()( ?? 于是， ??????? 2)(1)(2)]()(1[)()( ?????? ????? dx dyyydx dyyydxxydyyx DDL 13．證明：由 )0,0,2,1(,11 ???? ??nnnnnn banbbaa ?，顯然有 1212 bbaa ? 2112 bbaa ?? 2323 bbaa ? 3113223 bbabbaa ??? ………… nnnn bbaa 11 ?? ? 11111 ??? ??? nnnnn bbabbaa 由正 項極數的比較判別法可知 (1)若 ???1n nb收斂，則 ???1n na收斂；（ 2）若 ???1n na發(fā)散，則 ???1n nb發(fā)散。 14．證明：因為 0?na 且 }{ nna 有界，故存在 M0 使 Mnan ??0 ，即 nMan ??0，于是 2220 nMa n ?? ，因為 ???1 21n n收斂，所以 ???1 22n nM 收斂，故 ???12n na收斂。 15．證明：由題設可知 ???1n na為正項極數，因為 ),0(lim1lim 22??? ???? ccannannnn ???1 21n n收斂， 由正項極數比較法的極限形式可知， ???1n na收斂。 16．證明：因為 )(0 xf 在區(qū)間 ? ? )0(,0 ?aa 上連續(xù)，故 )(0 xf 在 [0,a]上連續(xù)， 從而 )(0 xf 在 [0,a]上有最大值，設為 M,即 ? ?)(max00 xfM ax??? 由 ? ? ??? ?????xnx xxnxnn dxxfdxdxxfdxxfxf 0 0 0 00 20 1 )(])([)()( ?? ??? ?? ??個 可得 , nnx xnx xn xnMM d xdxxfxf !)()( 0 00 0 0 ??? ? ?? ? ? ?? ?? ??? ??? ?? ?個個 因為 ? ?axxnMn n ,0,!0 ????收斂，故 ???0 )(n n xf收斂，即 ???0 )(n n xf在 ? ?a,0 上是絕對收斂的。 17．證明：由 )(xf 在點 x=0 的某一鄰域內具有連續(xù)的二階導數，且 0)(lim0 ?? xxfx可推出0)0(,0)0( ??? ff ，將 )(xf 在點 x=0 的某一鄰域內展成一階臺勞公式 )),0((,)(21)(21)0()0()( 22 xxfxfffxf ?????????? ??? 又由題設 )(xf? 在屬于鄰域內包含原點的一個小閉區(qū)間連續(xù)，因此 0??M ，使 Mxf ??? )( ，于是 22)(21)( xMfxf ???? ? 令21nx?，則212)1( nMnf ?，由于 ???1 21n n收斂，故 ???1 )1(n nf絕對收斂。 18．證明：因為 11111 )()()( ???? ???????? nnnnnnnn uuquufufufuu ? 0121221221 )()()( uuquuquufqufufq nnnnnnn ?????????? ?????? ?? 又，級數 ???1nnq 收斂，所以，級數 ??? ? ?1 1 )(n nn uu絕對收斂。 19． (1)解：通解為 ? ???????????????????? ?aecbxaea bcecdxebeyaxxaxxaadx??? ??,)(,)( （ 2）當 0?? 時， ,abcey ax ?? ? 所以， ababcexy axxx ??? ??????? )(lim)(lim 當 x0 且 a?? 時， ,)( xax ea bcexy ?? ?? ??? 0)(lim)(lim ???? ???????? xaxxx ea bcexy ?? 當 0?? 且 a?? 時， ,)()( axecbxxy ??? 0)(lim)(lim ??? ??????? axxx ecbxxy 20．證明：令 0)0(),()()( ??? FxfxgxF )()()]()()[()()()()()(