第2章導(dǎo)數(shù)與微分-資料下載頁
2024-10-05 00:39本頁面
【正文】 .)(2)( 222 rrrrrrs ????????? ????解：面積的增量 面積的增量與微分． r?當(dāng)半徑增大 2rs ??例 3 半徑為 r 的圓的面積 時(shí)，求 2d ( ) 2y x x x x?? ? ? ?在點(diǎn) 1?x 處， 前頁 結(jié)束 后頁 微分的幾何意義 x? 當(dāng)自變量 x有增量 時(shí)， 切線 MT 的縱坐標(biāo)相應(yīng)地有增量 t a n ( ) dP x f x x y? ?? ? ? ? ? ?Q( , )M x y因此，微分 d ( )y f x x???幾何上表示當(dāng) x有增量 x? 時(shí)，曲線 ()y f x? 在對應(yīng)點(diǎn) 處的切線的縱坐標(biāo)的增量． y?用 dy 近似代替 dy y P N? ? ?就是用 QP近似代替 QN，并且 t a n ( )fx? ??設(shè)函數(shù) y = f (x)的圖形如下圖所示 .過曲線 y = f (x)上一點(diǎn) M(x,y)處作切線 MT,設(shè) MT的傾角為 則,?y?()y f x?MNO xy?dyx xx??QPT 前頁 結(jié)束 后頁 微分的運(yùn)算法則 1. 微分的基本公式： ( 1 ) d 0 ( )?CC 為 常 數(shù)1( 2) d d ( ) aax a x x a?? 為 常 數(shù)( 4) d e e dxx x?1( 6 ) d ln dxxx?( 8 ) d c o s s in dx x x??( 3) d l n d ( 0 1 )xxa a a x a , a? ? ?11( 5 ) d lo g d ( 0 1 )lna x x a , axa? ? ? ?( 7 ) d s in c o s d x x x?前頁 結(jié)束 后頁 21( 1 6 ) d a r c c o t d 1xx x?? ?21( 1 4 ) d a r c c o s d1xxx???21( 1 3 ) da r c sin d1xxx??21( 1 5 ) d a r c t a n d 1xx x? ?2( 1 0) d c o t c s c dx x x??2( 9) d t a n s e c dx x?( 1 2 ) dc s c c s c c o t dx x x x??( 1 1 ) ds e c s e c t a n dx x x x?續(xù)前表 前頁 結(jié)束 后頁 2. 微分的四則運(yùn)算法則 設(shè) u=u(x)， v=v(x)均可微 ，則 d( ) d d 。u v u v? ? ?d( ) d d 。uv v u u v??d ( ) dC u C u? （ C 為常數(shù)）； 2ddd u v u u vv v??? ?????0( ).v ?前頁 結(jié)束 后頁 3．復(fù)合函數(shù)的微分法則 都是可導(dǎo)函數(shù)，則 ( ) ( )y f u u x???，設(shè)函數(shù) 的微分為 )]([ xfy ??復(fù)合函數(shù) ? ?? ?d ( ) d ( ) ( ) dxy f x x f u x x??? ???? 利用微分形式不變性，可以計(jì)算復(fù)合函數(shù)和隱 函數(shù)的微分 . 這就是一階微分形式不變性 . 可見，若 y=f(u)可微，不論 u是自變量還是中間變量， d ( ) dy f u u??總有 而 d ( ) du x x? ?? uufy d)(d ??于是前頁 結(jié)束 后頁 解： )32(3221)32( 222 ??????? xxxxydd2326xx??26d d .23xyxx??解：對方程兩邊求導(dǎo)，得 04222 ?????? yyyxyx)( xfy ?dy的導(dǎo)數(shù) ddyx與微分 例 5 求由方程 122 22 ??? yxyx 所確定的隱函數(shù) 即導(dǎo)數(shù)為 xyyxy???? 微分為 ddxyyxyx?? ?例 4 .,32 2 yxyxy ddd 與求設(shè) ??前頁 結(jié)束 后頁 由以上討論可以看出，微分與導(dǎo)數(shù)雖是兩個(gè) 不同的概念，但卻緊密相關(guān)，求出了導(dǎo)數(shù)便立即 可得微分，求出了微分亦可得導(dǎo)數(shù)，因此，通常 把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算統(tǒng)稱為微分法． 在高等數(shù)學(xué)中，把研究導(dǎo)數(shù)和微分的有關(guān)內(nèi) 容稱為微分學(xué)． 前頁 結(jié)束 后頁 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 0 0 0( ) ( ) d ( )y f x x f x y f x x?? ? ? ? ? ? ? ?或?qū)懗? 0 0 0( ) ( ) ( ) .f x x f x f x x?? ? ? ? ?（ 1） 上式中令 00 ??? xx（ 2） 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .f x f x f x x x?? ? ? ?，則 特別地 ,當(dāng) x0=0， x 很小時(shí) ,有 ( ) ( 0) ( 0)f x f f x??? （ 3） 公式 (1) (2) (3)可用來求函數(shù) f(x)的近似值。 0( ) 0fx? ?，且 x? 很小時(shí)，我們有近似公式 在 x0 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) ()y f x?由微分的定義可知，當(dāng)函數(shù) 前頁 結(jié)束 后頁 注： 在求 )(xf 的近似值時(shí)，要選擇適當(dāng)?shù)? 0x，使 )( 0xf ， )( 0xf ? 容易求得，且 0xx ?較?。? 應(yīng)用（ 3）式可以推得一些常用的近似公式 ,當(dāng) x 很小時(shí) ,有 (1) xx ?sin （ ｘ 用弧度作單位） (3) xe x ?? 1(4) xx ?? )1ln ( (5) xnxn 111 ???(2) xx ?ta n (ｘ 用弧度作單位） 前頁 結(jié)束 后頁 例 6 .46s i n 的近似值計(jì)算 ?則 1 8 010???? ?xx解 : 設(shè) ,s in)( xxf ? 取 ?46?x ， 4450??? ?x于是由（ 2）式得 ).(c o ss i ns i n 000 xxxxx ???? 22 2 ???? ?1804c o s4s i n46s i n??? ????即
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