【文章內容簡介】 )l i m ( )xu x x u x v x xxDD DD?????注意 : ,千萬不要把導數(shù)乘積公式 (2) ()u v u v? ? ??? 記錯了 . 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .u x v x u x v x????0000( ) ( )li m ( )xv x x v xuxxDDD????例 1 10 1 1( ) .nn nnf x a x a x a x a? ?? ? ? ? ?求 的導數(shù)10 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?nn nnf x a x a x a x a解 因此 , 對于多項式 f 而言 , 總是比 f 低一個冪次 . f?例 2 s in ln .y x x x??求 在 處 的 導 數(shù)π解 由公式 (2)，得 120 1 1( 1 ) .?? ?? ? ? ? ?nn nn a x n a x al n .xy ? ??? ??1( sin ) ln sin ( ln ) c o s ln sin ,y x x x x x x xx? ? ?? ? ? ?00 0 0 020( ) ( ) ( ) ( )(). ( 4 )() ()xxu x v x u x v xuxvx vx?? ???? ?????? 在點 x0 也可導 ， 且 ()() ()uxfx vx?則定理 若函數(shù) 在點 x0 可導 , ( ), ( )u x v x 0( ) 0 ,vx ?證 1( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ,()g x f x u x g x g xvx??設 ，則 對 有0 00011( Δ) ()( Δ ) ( )ΔΔv x x vxg x x g xxx?????0000( Δ ) ( ) 1 .Δ ( Δ ) ( )v x x v xx v x x v x??? ? ???由于 在點 x0 可導 , 因此 0( ) 0 ,vx ?()vx對 應用公式 (2) 和 (5), 得 ( ) ( ) ( )f x u x g x?0 0 00 200( ) ( ) ( )( ) l i m ,()xg x x g x v xgxx vxD ????? ? ? ?ΔΔ0020()1.() ()xxvxvx vx?? ?????????亦即 (5) 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,f x u x g x u x g x? ? ???00 0 0 020( ) ( ) ( ) ( )().() ()xxu x v x u x v xuxvx vx?? ???? ??????即例 3 求下列函數(shù)的導數(shù)： 22 222c os si n 1 se c .c os c osxx xxx?? ? ?( i ) , 。nxn? 是正整數(shù)( ii ) t a n , c o t 。xx( iii ) s e c , c s c .xx解 1121( i ) ( ) .nnnnnnxx n xxx?? ? ????? ? ? ? ? ?????2sin ( sin ) c os sin ( c os )( ii ) ( t an )c os c osx x x x xxx x? ?? ???? ??????同理可得 s e c t a n .xx?221 ( c os ) sin( iii ) ( se c )c os c os c osxxxx xx? ???? ? ? ? ?????( c s c ) c s c c o t .x x x? ??221( c ot ) c s c .si nxx x? ? ? ? ?同理可得 001( ) . ( 6 )()fx y?? ? ?證 00,x x x y y y? ? ? ?設 則ΔΔ00( ) ( ) ,x y y y????＋ΔΔ 00( ) ( ) .y f x x f x? ? ?ΔΔ 定理 設 為 的反函數(shù)， 在 ()y f x? ()xy?? ? 由 假設 , 在點 1f ? ?? 0x 的某鄰域內連續(xù) ,且嚴格 二、反函數(shù)的導數(shù) f 00()xy?? 則 在點 可導 , 且 0y 0( ) 0 ,y? ? ? 點 的某鄰域內連續(xù)，嚴格單調 , 且 0 0 。 0 0 .x y x y? ? ? ? ? ?Δ Δ Δ Δ? ?00 0011l i m .()limxyyfxxxyyDD???? ? ? ??ΔΔΔΔ例 4 求下列函數(shù)的導數(shù)： ,0)( 0 ?? y? 便可證得 注意到 單調 , 從而有 ( i) a r c s in a r c c o s 。xx和( ii ) a r c t a n a r c c o t .xx和解 ( i ) a r c s in , ( 1 , 1 ) s iny x x x y? ? ? ?是在21 1 1( ar c si n ) , ( 1 , 1 ) .( si n ) c os 1xx yy x? ? ? ? ? ??? 21, ( ar c c os ) , ( 1 , 1 ) .1xxx? ? ? ? ??同理上的反函數(shù)，故 ()22?π π，yyyx 22 t a n11s e c1)( t a n1)( a r c t a n??????).,(,1 1 2 ??????? xx同理有 21( ar c c ot ) ,1x x? ???( , ) .x ? ? ? ? ? 的反函數(shù)，故 ( ii ) a r c t a n t a ny x x y?? 是在上 ()22?π π，定理 0( ) ( )u x x y f u???設 在點 可導， 在點00 ()u x f??? 可 導 ， 則 復 合 函 數(shù)在點 x0 可 這個定理一般用有限增量公式來證明 ， 但為了與 ? ?0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 7 )f x f u x f x x? ? ? ?? ? ? ? ???導， 且 三、復合函數(shù)的導數(shù) 證法 , 為此需要先證明一個引理 . 今后學習向量函數(shù)相聯(lián)系 ， 這里采用另一種新的 引理 f 在點 x0 可導的充要條件是 : 在 x0 的 某鄰 00( ) ( ) ,U x x H x域 上存在一個在 連續(xù)的函數(shù) 使證 設 f (x) 在點 x0 可導 , 且令 00000( ) ( ) ,()()( ) , .f x f xx U xxxHxxxfx? ????? ?? ? ??00( ) ( ) .f x H x? ?且 ),)(()()( 00 xxxHxfxf ???000000( ) ( )li m ( ) li m ( ) ( ) ,x x x xf x f xH x f x H xxx??? ?? ? ??因0()H x x故 在 連續(xù)，且00, ( ) ( ( ) ) ,H x x U x x?反之 設存在 在點 連續(xù) 且0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) .f x f x H x x x x U x? ? ? ?? ? ? ? ),()(l i ml i m00000xHxHxx xfxfxxxx??????得 f (x) 在點 x0 可導 , ).()( 00 xHxf ??且下面證明定理 ( 公式 (7) ) . ).(),)(()()( 000 xUxxxxHxfxf ????根據(jù)極限 ),(0 uFu 連續(xù)的函數(shù)個在點 且使 )()( 00 uFuf ??同理， ,)( 0 可導在點 xxu ?? 則存在一個在點 x0 ).(),)(()()( 000 uUxuuuFufuf ????0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) .u u x x x x x x U x? ? ?? ? ? ? ? ?于是當 有 ),( 0xUx?由引理的必要性 ,)( 0 可導在點及 uuf 知存在一 ( ),x? 00( ) ( ) ,xx??? ?使 且 連續(xù)的函數(shù) 00( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) .f x f x F x x x x? ? ? ?? ? ?公式 (7)改寫為 0 0 0 0 0( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) .H x F x x f u x? ? ???? ? ?0, x??由于 在點 連續(xù) )( 00 xuF ??在點 連續(xù)， 0( ) ( ( ) ) ( ) .H x F x x x???所以 在點 連續(xù)根據(jù)引 理的充分性 , 0 ,fx? 在點 可導 且)()( 0xf ???( ) , ( ) ,y f u u x???其中 這樣就容易理解 “鏈” 的 復合函數(shù)求導公式 (7) 又稱為 “鏈式法則” . 若將 ,dxdududydxdy ?( ( ( ) ) ) ( ( ) ) ( ) .f x f x x? ? ?? ? ??與 的不同含義例 5 .s i n 2 yxy ?? 的導數(shù)求函數(shù)在鏈式法則中一定要區(qū)分 ()( ( ) ) ( ) | uxf x f u ?? ??? ?22d d d ( sin ) ( ) c o s 2 2 c o s .d d dy y u u x u x x xx u x ??? ? ? ? ?意義了 . 解 分解成 這兩個 2s inyx?將 2s iny u u x??與于是由鏈式法則 , 有 基本初等函數(shù)的復合， 例 6 ( , 0 ) .y x x? ???求冪函數(shù) 是實數(shù) 的導數(shù)解 lne e lnxuy x y u x?? ?? ? ? ?由與復合而成 , l n 1( ) ( e ) e .xuxxx? ? ?? ? ???? ? ? ?故例 7 求下列函數(shù)的導數(shù) : 2( i ) 1 。x? 21( ii ) 。1 x?2( ii i) ln ( 1 ) .xx??解 運用復合求導法則 , 分別計算如下 : 12222 1( i ) ( ) ( 1 ) ( 1 )12 xxx???? ? ?? 2 .1xx??2 3 2 2211( i i ) ( 1 ) ( 1 )21xxx?????? ?? ? ? ????23.( 1 )xx???2( i i i ) l n ( 1 )xx ?????????221 ( 1 )11xx x x??? ? ?221 ( 1 )1xxx x?? ? ?? ?21 .1 x??例 8 求下列函數(shù)的導數(shù) : 21( i ) ( ) a r c t a n ( t a n ) 。3 3 2xfx ?1, 0 ,1e( ii ) ( )0 , 0 .xxxgxx? ?? ?? ?? ??解 222 1 1 1( i ) ( ) se c13 3 2 21 t a n92xfxx? ? ? ? ??2211 .5 4 c o s9 c o s sin22xx x?? ??( ii ) 0x ?當 時,111211 e e( ) .( 1 e )xxxxgx ??? ??0x ?當 時, 因為101( 0 ) li m 0 0 ,1e xxxgx?? ???? ? ? ?????? ΔΔΔΔ所以 在 處不可導 . g 0x?101( 0 ) li m 0 1 ,1e xxxgx?? ???? ? ? ?????? ΔΔΔΔ化某些連乘、連除式的求導 . ( ) ( ) ln ( ) ( ) ln ( )( ( ) ) ( e ) e ( ( ) ln ( ) )v x v x u x v x u