全微分、方向導數、梯度(編輯修改稿)
2025-08-31 14:16 本頁面
【文章內容簡介】 )0,0(),(,1s i n),(22yxyxyxxyyxf在點 )0,0( 連續(xù)且偏導數存在，但偏導數在點 )0,0(不連續(xù)，而 f 在點 )0,0( 可微 . 思路：按有關定義討論；對于偏導數需分 )0,0(),( ?yx ， )0,0(),( ?yx 討論 .證 因為 ,0?x ,0?y 時 0l im )0,0(),( ?? xyyx11s in 22 ?? yx0? ),0,0(f?故函數在點 )0,0( 連續(xù) ,?)0,0(xf x fxfx ? ???? )0,0()0,(l i m 0 ,000lim 0 ???? ?? xx同理 .0)0,0( ?yf于是 22001s inlimyxxyyx ???當 )0,0(),( ?yx 時，?),( yxf x ,1c o s)(1s i n 22322222 yxyxyxyxy ????當點 ),( yxP 沿直線 xy ? 趨于 )0,0( 時 ,),(l i m )0,0(),( yxf xxx ?,||2 1c os||22||2 1s i nl i m 330?????? ??? xxxxxx不存在 . 所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不連續(xù) .同理可證 ),( yxf y 在 )0,0( 不連續(xù) .yfxffyxfyfxff yxyx ????????????? )0,0(),(22 )()(1s i nyxyx????????))()(( 22 yxo ????故 ),( yxf 在點 )0,0( )0,0( ?df全微分的計算 請同學自己看書 ! , )( ),( 則處可微在點設函數 XXgXf)(d)(d))()(d( XgXfXgXf ???)( )(d))(d( RXfXf ?? ???)(d)()(d)())()(d( XgXfXfXgXgXf ??0))( ( )( )(d)()(d)()( )(d 2 ????????? XgXg XgXfXfXgXg Xf.d , )1,2,2(uxu zy 求設 ?zzuyyuxxuu dddd ?????????)1,2,2()1,2,2( )(zyxxxu????? 4)1,2,2(1 ?? ?zyz xy 將 y, z 看成常數 : . , zw ywxu ?? 將 x , z 看成常數 : . , zw ywxu ??)1,2,2()1,2,2( )(zyxyyu?????)1,2,2(1ln ??? zy yzxxz 2ln4? 例 解 將 x , y 看成常數 : . , zw ywxu ??)1,2,2()1,2,2( )(zyxyyu?????)1,2,2(lnln yyxx zyz ?? 2ln8 2?故 zyxu d2ln8d2ln4d4d 2)1,2,2( ??? . , ? 22 求其全微分若可微是否可微函數 yyxz ??, 2 , 2 22 中連續(xù)在易知 Ryxyzyxxz ??????? . 222 中可微在故函數 Ryyxz ??yyzxxzz ddd ?????? yyxxxy d)2(d2 2 ??? 例 解 回頭看全微分公式 zzz yx ddd ??yyzxxzz ????????d . d 的偏微分稱為函數關于 xxxzzx ???? . d 的偏微分稱為函數關于 yyyzzy ????這與物理中的疊加原理相符 . 二 . 方向導數 回憶一元函數的單側導數 : A B C ?xx ??xxfxxfxfx ??????????)()(l i m)(0 :0??x||AC|| ?||)(|| xxxx ?????||AC||( A )( C )l i m0ffx????? ( C ))( fxxf ??? ( A ))( fxf ? AC 方向的導數沿xx O y z . P0 P l 0l?. 中 3R)( Xfz ? ||PP|| )(P( P)lim 00PP 0ff ?? : )( 0 方向的導數沿 lXf
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