【正文】 解：把Q(0，2)代入方程，得曲面S上的點(diǎn)=(2，4，8)。）∴曲面過(guò)P點(diǎn)的切平面法的法向量（？）例2 求曲面S 在點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的切平面方程和法線方程。（P168）的切平面法向量Th總結(jié)起來(lái)：切平面的法向量：1）若曲面S：在點(diǎn)鄰域存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。由P205隱函數(shù)存在Thz得，在存在唯一由方程=0所確實(shí)的具有連續(xù)偏點(diǎn)數(shù)的隱函數(shù)，（討論：在是否可微？可微）且 .從而：曲面S所對(duì)應(yīng)的函數(shù)就是，它在點(diǎn)的切平面的法向量；∴（下面只須找出）∴（∵成比例的向量都是法向量。（它們的方程怎么寫(xiě)？）那么當(dāng)曲面S它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)不是顯函數(shù)而是由方程的隱函數(shù)時(shí)，那么過(guò)S上一點(diǎn)的切平面怎樣計(jì)算呢？下面就來(lái)推導(dǎo)這個(gè)問(wèn)題：例：設(shè)曲面S的方程為，在S上取一點(diǎn)（想一想()=0 ?），若函數(shù)在點(diǎn)的鄰域的全體偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。若在的鄰域內(nèi)與存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且， 不同為0，則曲線過(guò)的切線的切向量為：注：也是其法平面的法方向例2求曲線， 在點(diǎn)的切線方程與法平面方程解：令, 則： ， ＝∴切線：即，法平面：即.注：也可以直接計(jì)算：解：，所以方程組唯一確定一函數(shù)組：，所以，曲線的參數(shù)方程為：，將方程組：， 兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)把點(diǎn)代之得：.二、曲面的切平面與法線在前面167。解：（1）∵在的全部偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)；（2）（3），由P215 定理4得由（1）唯一確定隱函數(shù)組：, 于是C的參數(shù)方程為由定理1知：C過(guò)P0點(diǎn)的切線的切向量：，（討論要計(jì)算只須先算出什么？）∴對(duì)方程組（1）兩邊同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)（把y ，z看成中間變量） 解得∴曲線C過(guò)P0點(diǎn)的切向量為：＝（∵成正比例的向量都是切線的方向矢量。把上面推導(dǎo)寫(xiě)成一個(gè)定理有：定理：空間曲線C的參數(shù)方程是：設(shè)它們?cè)趨^(qū)間I可導(dǎo)，且有，則曲線在點(diǎn) ＝[x(t0) y(t0) z(t0)]的切向量量；而過(guò)切點(diǎn)的切線方程為： .把垂直于曲線C過(guò)P0點(diǎn)的切線，且過(guò)點(diǎn)的：C過(guò)P0的法平面的法向量為何？同時(shí)切向量又是曲線C過(guò)P0點(diǎn)的法平面的法向量.例：求螺旋線：在處的切線和法平面方程。討論：求條件極值分幾步？（三步：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)；求拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)；求函數(shù)的極值點(diǎn).）課堂作業(yè)：例. 求拋物線與直線之間的距離..分析：其距離是指：拋物線與直線上任意兩點(diǎn)的距離的最小值.解：在拋物線和直線上各任取一點(diǎn)與，令（問(wèn)題就是要求的最小值?。┰O(shè)且， 設(shè)，則：，. 解該方程組得：，所以函數(shù)在點(diǎn)取最小值：.例. 證明不定式：.分析：設(shè)，則不定式為，所以問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在條件之下的最小值是.解：設(shè)， ，設(shè)，解方程組 ，的穩(wěn)定點(diǎn)因?yàn)楹瘮?shù)定義域是閉三角形因?yàn)樵谶吔绾蜕系闹担?，所以函?shù)在取最小值，所以. 隱函數(shù)存在Th在幾何上的應(yīng)用一. 空間曲線的切線與法平面首先復(fù)習(xí)一下空間切線的兩點(diǎn)式，設(shè)空間曲線L上有兩已知點(diǎn)P1(x1，y1，z1)與P2(x2，y2，z2)（P1P2），則L的方程：或，其中T＝（a，b，c）3是直線的方向矢量。拉格朗日函數(shù)：所以： ，由得所以：，由實(shí)際意義有最大值，所以點(diǎn)是函數(shù)的最大值點(diǎn). 所以當(dāng)時(shí)，即為等邊三角形時(shí)，其面積最大.在上新課之前,我們先來(lái)復(fù)習(xí)一下變換的概念: 設(shè),則把A到R的一個(gè)映射:叫A到R的一個(gè)變換,也叫定義在A上關(guān)于的一個(gè)函數(shù)記為 ,所以A上的一個(gè)函數(shù)就是A到R的一個(gè)變換.同樣,二函數(shù)就是二維空間的子集A( 就是維空間的子集A到R的一個(gè)變換.也可以把這個(gè)概念推廣到函數(shù)組上去就是維空間的子集A到二維空間的一個(gè)變換.而函數(shù)組 , 就是維空間到維空間的一個(gè)變換,它把的點(diǎn)變換到了中.(雅可比行列式): 設(shè)有個(gè)元函數(shù)組成的元函數(shù)組: (1)特點(diǎn)及記憶方法.式記為: (, 若(I=1,2,…。例如：在原點(diǎn)（0,0）的某鄰域內(nèi)確定一個(gè)隱函數(shù)，但卻不能把此隱函數(shù)表成顯函數(shù)的形式.那么怎樣來(lái)研究由方程，所確定的隱函數(shù)的分析性質(zhì)呢？這就是下面我們要的隱函數(shù)存在定理.1. 由一個(gè)二元方程確定的隱函數(shù)存在性定理：（1）隱函數(shù)存在定理1：若函數(shù)在以點(diǎn)P(x0，y0)為心的矩形區(qū)域D滿(mǎn)足下列條件：1）2）3）.則：Ⅰ）隱函數(shù),使, ,且 Ⅱ) Ⅲ).討論：定理結(jié)論中的Ⅰ）Ⅱ) Ⅲ)說(shuō)明什么?例:驗(yàn)證方程在原點(diǎn)(0,0)的某鄰域確定了唯一的隱函數(shù)并求.解:,在點(diǎn)(0,0)為中心的矩形鄰域連續(xù)。 隱函數(shù)的存在性隱函數(shù)的概念: 在上冊(cè)P177我們已經(jīng)介紹過(guò)，一個(gè)二元方程F(x，y)＝0在一定條件下可以確定一個(gè)函數(shù)，把由方程F(x，y)=0所確定的函數(shù)叫隱數(shù)。證明：P168例2已知：=，= , =∴，代入方程左邊得：補(bǔ)充作業(yè)：證明：滿(mǎn)足微分方程：設(shè)，求：，設(shè)， , ,求 、.4. 設(shè)，證明：1. 二元函數(shù)的中值定理：若函數(shù)f（x、y）在點(diǎn)P0（xo、yo）的鄰域G存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，則全改變量：其中，這個(gè)定理叫二元函數(shù)的中值定理.在上冊(cè)我曾介紹了一元函數(shù)y=f(x)的泰勒公式：若在a的鄰域存在n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有：（0），令a=0，就得到了f（x）.2.（P163）定理2：若函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P（a，b）的鄰域存在n+1階的導(dǎo)數(shù)，則有+…+ .其中符號(hào)（在點(diǎn)P（a，b）的值.當(dāng)點(diǎn)P（a，b）=（0，0）時(shí)，就是麥克勞林公式：f（h，k）=f（0，0）+ （想一想：令h=x，k=y公式的形式怎樣？）.二元函數(shù)的泰勒公式中，當(dāng)n=0時(shí)，有：f（a+h，b+k）=f（a，b）+k. 這就是我們前面介紹二元函數(shù)的中值定理另一種形式.2. 二元函數(shù)的極值：上冊(cè)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的極值，把一元函數(shù)的極值推廣到二元函數(shù)上，就是下面所研究的二元函數(shù)的極值.（1）定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域有有定義：，若稱(chēng)是函數(shù)的一個(gè)極大值，并把點(diǎn)叫函數(shù)的一個(gè)極大值；若稱(chēng)是函數(shù)的一個(gè)極大值，并把點(diǎn)叫函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)；（2）穩(wěn)定點(diǎn)定義：把方程組的解所確定的點(diǎn)叫函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).（3）定理：設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn)，則.注：本定理說(shuō)明：極值點(diǎn)必是穩(wěn)定點(diǎn)，但反之不然.（4）極值的充分判別法：設(shè)函數(shù)有穩(wěn)定點(diǎn)，,則： 若，則是函數(shù)的極值點(diǎn)，且若，則不是函數(shù)的極值點(diǎn)，若，則可能是，也可能不是函數(shù)的極值點(diǎn).例1. 求函數(shù)的極值.解：因?yàn)榻獾梅€(wěn)定點(diǎn)：, (為了計(jì)算，先求二階偏導(dǎo)數(shù))， ， A或C不去極值不去極值不去極值極大值所以是極大值點(diǎn)，極大值為.（4）二元函數(shù)的最值：設(shè)函數(shù)在區(qū)域有定義， (或)，則稱(chēng)是函數(shù)在區(qū)域的最大值（或最小值），稱(chēng)其最大值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）.注：最值可能在區(qū)域內(nèi)部取得，也可能在區(qū)域邊界取得，所以必須把區(qū)域內(nèi)部的全體極值和邊界的全體最值求出來(lái)，加以比較方可得到函數(shù)在區(qū)域的最值.例2. 求函數(shù)的最值.解：（先求定義域）函數(shù)的定義域，得穩(wěn)定點(diǎn)，而邊界，（因?yàn)槭浅?shù)，所以可以看成是最大值，也可看成是最小值）所以：，所以函數(shù)的最小值是0，最大值是注：在一些實(shí)際問(wèn)題中，可以根據(jù)實(shí)際意義判別函數(shù)的最值：若函數(shù)有最大值（或最小值），且在區(qū)域內(nèi)只有唯一的穩(wěn)定點(diǎn)，則這個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)必是最值點(diǎn).例. 用鋼板制造容積為的無(wú)蓋長(zhǎng)方形水箱. 問(wèn)水箱的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，水箱的容積最大？分析：設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高各為； 鋼板最省表面積最小，所以：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為：各為多少時(shí)，表面積最小. 這關(guān)鍵是找出：和的函數(shù)關(guān)系.解：設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高各為表面積為，則（想辦法化為二元函數(shù)？）代之有： 得：函數(shù)在區(qū)域有唯一穩(wěn)定點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)域有最小值，所以唯一穩(wěn)定點(diǎn)就是其最小值點(diǎn)，此時(shí). 所以當(dāng)：長(zhǎng)寬，高時(shí)鋼板最省.例3. 設(shè)有半徑為的圓的內(nèi)接三角形，問(wèn)怎樣的內(nèi)接三角形有最大面積？分析：設(shè)面積為，課堂作業(yè)：求（）課堂作業(yè)：例. 設(shè)令：，則：，例一，證明：若，則：分析：實(shí)際上是證明 是偏微方程的解。因二階偏導(dǎo)數(shù)是偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，∴求二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只須對(duì)一階偏導(dǎo)數(shù)再求偏導(dǎo)就可以了。討論1：怎樣寫(xiě)出函數(shù)在點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)的定義？ …討論2：二階混合偏導(dǎo)數(shù)f″xy與f″yx是對(duì)自度量x、y的不同順序的求偏導(dǎo)，它們是否根等呢？（看下列例子）例：已知f(x1y)= 證明.證明：∵，當(dāng)時(shí), =同理:′= . 于是：兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)是關(guān)于不同順序的求偏導(dǎo)，它們不一定相等。把對(duì)的關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)記為或,即：，同樣有：f″xy(x1y)()討論：或；或表什么意思？把函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，f″yx(x1y)，叫函數(shù)