【正文】 看作不變而對x的偏導數(shù), 182。z與182。y182。y182。x182。x182。u+182。z=182。u+182。z=182。y182。z=？182。y182。y182。u182。zdv.提示:182。z182。u, 182。z=182。y182。z=？182。w182。v182。u182。x182。x182。x182。x182。z182。z182。z182。w, 182。v+182。u+182。z=182。v182。u182。x182。x182。x182。z182。z182。v, 182。u+182。z=182。vdt182。zdw.dt182。zdu+182。0DtDt174。udt182。zdu+182。vDtDt令Dt174。vdt182。z)o(Dt)+o(r),Dt182。zdv+(182。vDz=多元函數(shù)微分法及其應用Dz=182。vdt182。z)o(Dt)+o(r),=(182。zdv)Dt+(182。vdt182。v182。z[dvDt+o(Dt)]+o(r)182。zDv+o(r)=182。vdtdz=簡要證明2: 當t取得增量Dt時, u、v及z相應地也取得增量Du、Dv及Dz . 由z=f(u, v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性, 有182。zdv.從而dt182。vdtdz=182。vdt182。zdv)dt,182。zdvdt=(182。v又因為u=j(t)及v=y(t)都可導, 因而可微, 即有du=代入上式得 dudt, dv=dvdt,dtdt182。zdv. 182。vdt簡要證明1: 因為z=f(u, v)具有連續(xù)的偏導數(shù), 所以它是可微的, 即有dz=182。zdv.dt182。y設z=f(u, v), 而u=j(t), v=y(t), 如何求1. 復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形定理1 如果函數(shù)u=j(t)及v=y(t)都在點t可導, 函數(shù)z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù), 則復合函數(shù)z=f[j(t), y(t)]在點t可導, 且有dz=182。z？設z=f(u, v), 而u=j(x, y), v=y(x, y), 如何求182。9. 4 多元復合函數(shù)的求導法則dz？dt182。(x,y)Dy(Dx)+(Dy)22當(Dx)2+(Dy)2174。0時是無窮小量；時是無窮小量(D)Dzfx162。(x,y)Dxfy162。(x,y),fy162。師生活動設計=f(x,y)在(x0,y0)可微的充分條件是（）(A)f(x,y)在(x0,y0)連續(xù)。z例1 計算函數(shù)z=x2y +y2的全微分.例2 計算函數(shù)z=exy在點(2, 1)處的全微分.例3 計算函數(shù)u=x+sinyyz+e的全微分.2小結；、可導、連續(xù)性之間的關系。x182。udy+182。y二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理.疊加原理也適用于二元以上的函數(shù), 例如函數(shù)u=f(x, y, z)的全微分為du=182。zdy.182。y定理1和定理2的結論可推廣到三元及三元以上函數(shù).按著習慣, Dx、Dy分別記作dx、dy, 并分別稱為自變量的微分, 則函數(shù)z=f(x, y)的全微分可寫作 dz=182。z在點(x, y)連續(xù), 則函數(shù)在該點可微分.182。0. 22(Dx)+(Dy)(Dx)+(Dx)2 定理2(充分條件)如果函數(shù)z=f(x, y)的偏導數(shù)182。0 x2+y2=0238。 函數(shù)f(x,y)=237。xy x2+y2185。x182。z、182。x182。y182。y182。zDx+182。z存在, 且182。z存在, 且182。0Dx174。ylim簡要證明: 設函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)可微分. 于是有Dz=ADx+BDy+o(r). 特別當Dy=0時有f(x+Dx, y)f(x, y)=ADx+o(|Dx|).上式兩邊各除以Dx, 再令Dx174。zDy.dz=Dx+182。x182。y182。z=B. 所以 從而偏導數(shù)182。z=A. 同理可證偏導數(shù)182。0182。(x+Dx, y+Dy), 有Dz=ADx+BDy+o(r). 特別當Dy=0時有f(x+Dx, y)f(x, y)=ADx+o(|Dx|).上式兩邊各除以Dx, 再令Dx174。x182。zDx+182。x182。z、182。(0,0)limf(x+Dx,y+Dy)=lim[f(x,y)+Dz]=f(x,y). r174。fy(x, y)Dy, f(x, y+Dy)f(x, y)為函數(shù))對y的偏增量, f y(x, y)Dy為函數(shù)對y的偏微分.全增量:Dz= f(x+Dx, y+Dy)f(x, y).計算全增量比較復雜,我們希望用Dx、Dy的線性函數(shù)來近似代替之.定義如果函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)的全增量Dz= f(x+Dx, y+Dy)f(x, y)可表示為Dz=ADx+BDy+o(r)(r=(Dx)2+(Dy)2),其中A、B不依賴于Dx、Dy 而僅與x、y 有關, 則稱函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)可微分, 而稱ADx+BDy為函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)的全微分, 記作dz, 即dz=ADx+BDy.如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分, 那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.可微與連續(xù): 可微必連續(xù), 但偏導數(shù)存在不一定連續(xù).這是因為, 如果z=f(x, y)在點(x, y)可微, 則Dz= f(x+Dx, y+Dy)f(x, y)=ADx+BDy+o(r), 多元函數(shù)微分法及其應用于是 limDz=0,r174。fx(x, y)Dx,f(x+Dx, y)f(x, y)為函數(shù)對x的偏增量, f x(x, y)Dx為函數(shù)對x的偏微分。1，求p(y)：5，6 講課提綱、板書設計作業(yè) P69: 1（4）（6）（8）,4，6（3），8多元函數(shù)微分法及其應用167。(u)連續(xù)，且j162。x182。z+p(x)。xyp(t)dt確定u是x,y的函數(shù)，其中f(u),j(u)可微，182。教學方式及教學過程中應注意的問題在教學過程中要注意偏導數(shù)的定義以及偏導數(shù)的求法，特別是求導先后順序問題是本節(jié)的重點，要結合實例，反復講解。x2182。x182。u=182。(r3)r3x3r2182。y182。u13x113z2因此2+2+2=(3+5)+(3+5)+(3+5)182。u182。zr3r5182。2u=1+3z2182。x35182。2u=1+3x182。xr2182。u=1182。y182。u1 例8．證明函數(shù)u=滿足方程2+2+2=0,r182。u182。x182。z182。z==222.182。z==222,2222182。xx2+y2182。z=x, 182。x2182。2z+182。x182。y182。z182。x182。y182。2z=182。x182。x182。y182。z182。2z182。y182。x182。y182。y182。x182。x2182。x182。z182。z182。182。z)=182。2z182。(182。y182。x182。x182。y182。z182。z182。182。y182。x182。y182。()==fyx(x,y),()=z=fyy(x,y).182。182。z182。yxy22182。x182。x2xx182。x182。z)=182。2z=f(x,y)182。(182。yy182。z=f(x,y), 182。yDy174。f, , zy , 或fy(x,y).182。(0,0)limf(x,y)不存在, 故函數(shù)f(x, y)在(0, 0)處不連續(xù).類似地, 可定義函數(shù)z=f(x, y)對y的偏導函數(shù), 記為182。(0,0)x2+y2x174。0當點P(x, y)沿x軸趨于點(0, 0)時, 有(x,y)174。x174。0 在點(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函數(shù)在點(0, 0)并不連續(xù).多元函數(shù)微分法及其應用提示:f(x, 0)=0, f(0, y)=0。x2+y2239。0239。是截線z=f(x0, y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率.偏導數(shù)與連續(xù)性: 對于多元函數(shù)來說, 即使各偏導數(shù)在某點都存在, 也不能保證函數(shù)在該點連續(xù). 例如236。ppVV2pR例5 說明的問題: 偏導數(shù)的記號是一個整體記號, 不能看作分子分母之商.二元函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)的偏導數(shù)的幾何意義: fx(x0, y0)=[f(x, y0)]x162。V182。V182。pRR 證 因為p=所以182。TV=。p182。VV2VRT182。p=RT。T182。T=1.182。p182。xlnx182。z+1182。0f(x+Dx,y,z)f(x,y,z),Dx其中(x, y, z)是函數(shù)u=f(x, y, z)的定義域的內(nèi)點. 它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題.例1 求z=x2+3xy+y2在點(1, 2)處的偏導數(shù).例2 求z=x2sin 2y的偏導數(shù).例3 設z=xy(x0,x185。yDy174。f, , zy , 或fy(x,y).182。0類似地, 可定義函數(shù)z=f(x, y)對y的偏導函數(shù), 記為182。x182。z, 182。yx182。f182。0f(x0+Dx,y0)f(x0,y0).Dx類似地, 函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)處對y 的偏導數(shù)定義為Dy174。xy=y0182。f182。9. 2偏導數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算法對于二元函數(shù)z=f(x, y), 如果只有自變量x 變化, 而自變量y固定, 這時它就是x的一元函數(shù),多元函數(shù)微分法及其應用這函數(shù)對x的導數(shù), 就稱為二元函數(shù)z=f(x, y)對于x的偏導數(shù).定義設函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)有定義, 當y固定在y0而x在x0處有增量Dx時, 相應地函數(shù)有增量f(x0+Dx, y0)f(x0, y0).如果極限D(zhuǎn)x174。教學方式及教學過程中應注意的問題在教學過程中要注意區(qū)域的定義和多元函數(shù)的定義，多元函數(shù)的極限和連續(xù)性的理解是本節(jié)的重點，要結合實例，反復講解。D},f(P2)=min{f(P)|P206。 且存在PP 2206。D, 有|f(P)|163。P0 例8 求(x,y)174。(1,2)xylim一般地, 求limf(P)時, 如果f(P)是初等函數(shù), 且P0是f(P)的定義域的內(nèi)點, 則f(P)在點P0P174。 連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)。(0, 0)時的極限不存在, 所以點O(0, 0)是該函數(shù)的一個間斷點.又如, 函數(shù)z=sin1, 其定義域為D={(x, y)|x2+y2185。x2+y2=0238。 函數(shù)f(x,y)=237。xy x2+y2185。 R2. e0, 由于sin x在x0處連續(xù), 故$d0, 當|xx0|d時, 有|sin xsin x0|e.以上述d作P0的d鄰域U(P0, d), 則當P(x, y)206。D . 如果多元函數(shù)微分法及其應用(x,y)174。(0,2)(x,y)174。(0,2)(x,y)174。(0,2)lim 解: sin(xy)sin(xy)sin(xy)=limy=limlimy=1180。(0,0)x2+y2x174。0y174。0當點P(x, y)沿y軸趨于點(0, 0)時,(x,y)174。x174。0 x+y=0提示: 當點P(x, y)沿x軸趨于點(0, 0)時,(x,y)174。x2+y2在點(0, 0)有無極限？ 22239。0239。(0,0)limf(x,y)=0. (1)二重極限存在, 是指P以任何方式趨于P0時, 函數(shù)都無限接近于A.(2)如果當P以兩種不同方式趨于P0時, 函數(shù)趨于不同的值, 則函數(shù)的極限不存在.討論:236。D199。(0,0)x2+y多元函數(shù)微分法及其應用|f(x,y)0|=|(x2+y2)sin可見e 0, 取d=10| =|x2+y2||sin1| 163。A(P174。(x0, y0)),P174。(x0,y0)olimf(x,y)=A, 或f(x, y)174。U(P0,d)時, 都有|f(P)A|=|f(x, y)A|e成立, 則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x, y)當(x, y)174。(x0, y0)時的極限.定義2 ：設二元函數(shù)f(P)=f(x, y)的定義域為D, P0(x0, y0)是D的聚點. 如果存在常數(shù)A, 對于任意給定的正數(shù)e總存在正數(shù)d, 使得當P(x,y)206。D}稱為二元函數(shù)z=f(x, y)的圖形, 二元函數(shù)的圖形是一張曲面.三. 多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限概念類似, 如果在P(x, y)174。函數(shù)z=arcsin(x2+y2)的定義域為{(x, y)|x2+y2163。D,也可記為u=f(P), P(x1, x2, , xn)206。R就稱為定義在D上的n元函數(shù), 通常記為u=f(x1, x2, , xn),(x1, x2, , xn)206。D}.函數(shù)的其它符號: z=z(x, y), z=g(x, y)等.類似地可定義三元函數(shù)u=f(x, y, z),(x, y, z)206。D(或z=f(P), P206。R, i=1, 2, , n}.Rn中的元素(x1, x2, , xn)有時也用單個字母x來表示, 即x=(x1, x2, , xn). 當所有的xi(i=1, 2, , n)都為零時, 稱這樣的元素為Rn中的零元, 記為0或O . 在解析幾何中, 通過直角坐標, R2(或R3)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建立一一對應, 因而Rn中的元素x=(x1, x2, , xn)也稱為Rn中的一個點或一個n維向量, xi稱為點x的第i個坐標或n維向量x的第i個分量. 特別地, Rn中的零元0稱為Rn中的坐標原點或n維零向量.二. 多元函數(shù)概念例１ 圓柱體的體積V 和它的底半徑r、高h之間具有關系V =pr2h. 這里, 當r、h在集合{(r , h)| r0, h0}內(nèi)取定一對值(r , h)時, V對應的值就隨之確定. 例2 一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關系p=RT, V其中R為常數(shù). 這里, 當V、T在集合{(V ,T)| V0, T0}內(nèi)取定一對值(V, T)時, p的對應值就隨之多元函數(shù)微分法及其應用確定.定義1設D是R2的一個非空子集, 稱映射f : D174。 180。1}是無界閉區(qū)域.2. n維空間設n為取定的一個自然數(shù), 我們用Rn表示n元有序數(shù)組(x1, x2, , xn)的全體所構成的集合, 即Rn=R180。 集合{(x, y)| x+y1}是無界開區(qū)域。x2+y2163。2}.有界集: 對于平面點集E, 如果存在某一正數(shù)r, 使得E204。2}既非開集, 也非閉集.連