【正文】 D稱為該函數(shù)的定義域, x, y稱為自變量, z稱為因變量.上述定義中, 與自變量x、y的一對值(x, y)相對應的因變量z的值, 也稱為f在點(x, y)處的函數(shù)值, 記作f(x, y), 即z=f(x, y).值域: f(D)={z| z=f(x, y),(x, y)206。D,或簡記為u=f(x), x=(x1, x2, , xn)206。1}(有界閉區(qū)域).二元函數(shù)的圖形: 點集{(x, y, z)|z=f(x, y),(x, y)206。D199。A((x, y)174。P0).上述定義的極限也稱為二重極限.(x,y)=(x2+y2)sin證因為1, 求證limf(x,y)=0.(x,y)174。U(O,d)時, 總有|f(x, y)0|e,因此必須注意:(x,y)174。 函數(shù)f(x,y)=237。(0,0)limf(x,y)=limf(x, 0)=lim0=0。(0,0)limf(x,y)=limf(0, y)=lim0=0.y174。0x2+k2x21+k2 y=kx因此, 函數(shù)f(x, y)在(0, 0)處無極限.極限概念的推廣: 多元函數(shù)的極限.多元函數(shù)的極限運算法則:與一元函數(shù)的情況類似.例5 求sin(xy).x(x,y)174。(0,2)xy(x,y)174。(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0),則稱函數(shù)f(x, y)在點P0(x0, y0)連續(xù).如果函數(shù)f(x, y)在D的每一點都連續(xù), 那么就稱函數(shù)f(x, y)在D上連續(xù), 或者稱f(x, y)是D上的連續(xù)函數(shù).二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應地推廣到n元函數(shù)f(P)上去.例6設f(x,y)=sin x, 證明f(x, y)是R2上的連續(xù)函數(shù).證 設P0(x0, y0)206。0239。0 其定義域D=R2, O(0, 0)是D的聚點. f(x, y)當(x, y)174。 多元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù).多元初等函數(shù): 與一元初等函數(shù)類似, 多元初等函數(shù)是指可用一個式子所表示的多元函數(shù), 這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經過有限次的四則運算和復合運算而得到的.x+x2y2x2+y2+z2e例如, sin(x+y), 都是多元初等函數(shù).1+y2一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的. 所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域.多元函數(shù)微分法及其應用例7 求 x+y. (x,y)174。(0, 0)limxy+11.xy五、多元連續(xù)函數(shù)的性質:性質1(有界性與最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù), 必定在D上有界, 且能取得它的最大值和最小值.性質1就是說, 若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù), 則必定存在常數(shù)M0, 使得對一切P206。D, 使得f(P1)=max{f(P)|P206。師生活動設計課后習題：7，8，9 講課提綱、板書設計 作業(yè) P63: 5（2）（4）（6），6（2）（3）（5）（6）167。zx=x0, x=x, z182。0limf(x0,y0+Dy)f(x0,y0),Dy記作 182。yy=y0x=x0,y=y0zyx=x0y=y0, 或fy(x0, y0).偏導函數(shù):如果函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內每一點(x, y)處對x的偏導數(shù)都存在, 那么這個偏導數(shù)就是x、y的函數(shù), 它就稱為函數(shù)z=f(x, y)對自變量x的偏導函數(shù), 記作182。xf(x+Dx,y)f(x,y)偏導函數(shù)的定義式: fx(x,y)=lim.DxDx174。y182。1), 求證:x182。y 例4 求r=x2+y2+z2的偏導數(shù).例5 已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)), 求證: 182。V182。 182。TppV182。p182。T182。xy x2+y2185。x2+y2=0238。0x174。0x2+k2x21+k2 y=kx因此,(x,y)174。y182。z=f(x,y),182。z)=182。2z=f(x,y), ,182。y182。182。z182。y182。y2多元函數(shù)微分法及其應用22182。182。x182。y182。z)=182。2z182。182。x182。x182。y182。y2 同樣可得三階、四階、以及n 階偏導數(shù). 二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).22182。z.例6 設z=xy3xyxy+1, 求和182。y182。2z182。y22182。x182。2z=0.182。z=y,182。x(x+y)(x+y)2(x2+y2)y2yx2y2182。z因此 2+2=2+222=0.22182。u182。z多元函數(shù)微分法及其應用其中r=x2+y2+z2.182。xr2rr3182。xrrrr 證:23y2182。y2rr22223y2182。x182。r2182。x.=提示:182。師生活動設計=f(u)，方程u=j(u)+242。182。(u)185。f(x, y+Dy)f(x, y)187。0因此函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)處連續(xù). 定理1(必要條件)如果函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)可微分, 則函數(shù)在該點的偏導數(shù)y)在點(x, y)的全微分為dz=182。y182。y證 設函數(shù)z=f(x, y)在點P(x, y)可微分. 于是, 對于點P的某個鄰域內的任意一點P 162。z存在, 且182。y182。z182。0而取極限, 就得f(x+Dx,y)f(x,y)o(|Dx|)=lim[A+]=A,DxDxDx174。z=A. 同理182。zDy.從而182。y182。z存在是可微分的必要條件, 但不是充分條件. 偏導數(shù)182。0239。(0, 0)不可微分, 即Dz[fx(0, 0)Dx+fy(0, 0)Dy]不是較r高階的無窮小. 這是因為當(Dx, Dy)沿直線y=x趨于(0, 0)時, 多元函數(shù)微分法及其應用Dz[fx(0, 0)Dx+fy(0, 0)Dy]r=DxDy=D2xDx2=1185。x182。x182。udz.182。教學方式及教學過程中應注意的問題在教學過程中要注意全微分的定義，可微、可導、連續(xù)性之間的關系是本節(jié)的重點，要結合實例，反復講解。(x,y)在(x0,在y0()x0,y0)的某領域內存在；(C)Dzfx162。(x,y)Dxfy162。z和182。zdu+182。zdu+182。zdudt+182。udt182。zdu+182。zDu+182。u182。zdu+182。udt182。zdu+182。udt182。0, 上式兩邊取極限, 即得dz=182。vdto(r)o(r)(Du)2+(Dv)2注:lim=lim=0(du)2+(dv)2=0.DtdtdtDt174。zdv+182。wdtdz稱為全導數(shù).dt2. 復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形定理2 如果函數(shù)u=j(x, y), v=y(x, y)都在點(x, y)具有對x及y的偏導數(shù), 函數(shù)z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù), 則復合函數(shù)z=f [j(x, y), y(x, y)]在點(x, y)的兩個偏導數(shù)存在, 且有182。z182。u+182。u182。y182。y182。z182。z=182。v+182。u182。w182。y182。y推廣: 設z=f(u, v, w), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 則討論:182。x182。z=182。x182。u182。z=？(2)設z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 則182。f182。f182。u182。u182。f是不同的, 182。x182。f是把f(u, x, y)中的u及y看作不變而 對x的偏導數(shù). 與也朋類似的區(qū)別.182。z182。u+182。x182。vdy182。y2例2 設u=f(x,y,z)=ex+y2+z2, 而z=x2siny. 求182。y例3 設z=uv+sin t , 而u=et, v=cos t. 求全導數(shù)dz.dt182。x182。u182。y182。u182。ux182。x182。x182。qr182。u182。usinq+182。r182。rr182。u)2=(182。y182。(182。u)182。x182。x182。r182。ucosq182。qrr=多元函數(shù)微分法及其應用=182。r182。u2sinqcosq182。u182。r182。qr22182。rrr2兩式相加, 得2222182。+2=2+r+2u2182。q221182。r182。zdv.182。zdy182。u+182。u+182。x182。y182。udx+182。vdy)=182。v182。zdv.182。zdv= e usin vdu+ e ucos v dv 182。師生活動設計(x,y)|y=x2=1，f1(x,y)|y=x2=2x，求f2(x,y)|y=x2 =f(x,y)在點(1,1)處可微，且f(1,1)=1，162。f|(1,1)=2，|(1,1)=3，182。0, 則方程F(x, y)=0在點(x0, y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y=f(x), 它滿足條件y0=f(x0), 并有Fdy=x. dxFy求導公式證明: 將y=f(x)代入F(x, y)=0, 得恒等式F(x, f(x))186。x182。0. 因此由定理1可知, 方程x2+y21=0在點(0, 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x=0時y=1的隱函數(shù)y=f(x).Fdydy=x=x, =0。z182。0,將上式兩端分別對x和y求導, 得Fx+Fz182。x因為F z連續(xù)且F z(x0, y0, z0)185。z=, =.182。x222解設F(x, y, z)= x2+y2+z24z, 則Fx=2x, Fy=2z4,182。2z=182。222。uJ==182。F182。u=1182。v=1182。u=1182。yJ182。F+F182。xv182。確定。x182。x238。v=0,239。v182。v182。y182。v, 182。x182。v的方程組 解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導, 得關于182。uy182。x, 237。y+v+x=0182。0時, 解之得182。xx2+y2182。y兩個方程兩邊分別對x 求偏導, 得關于236。182。u182。y238。v=xu+yv.182。(x,y)185。在點(x, y, u, v)的某一領域內唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y).(2)求反函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y)對x, y的偏導數(shù).解(1)將方程組改寫成下面的形式237。yy(u,v)=0238。0.182。x186。1=182。v239。x182。y239。182。x由于J185。v=1182。xJ182。v=1182。yJ182。xz0dusintdt，求。x=j(t)239。z=w(t)238。vr=f(t)，t206。Rn為一元向量值函數(shù)，記作多元函數(shù)微分法及其應用174。rrrf(t)=f1(t)i+f2(t)j+f3(t)k，t206。：定義2：設向量值函數(shù)f(t)在點t0的某一去心領域內有定義，若存在一個常向量r0，對于任意給定的正數(shù)e，總存在正數(shù)d，使得當t滿足0|tt0|d時，對應的函數(shù)值f(t)都滿足不等式174。r則稱常向量r0為向量值函數(shù)f(t)當t174。t0t174。t174。D，若f(t)在D上每一點都連續(xù)，則稱f(t)是D上的連續(xù)函數(shù)。174。rrdr|t=t。r向量值函數(shù)f(t)，t206。162。174。R，求曲線G在與點2t0=2相應的點處的單位且向量。y=y(t)，t206。[a,b]。(t0),y162。(t0)w162。(t0)(zz0)=0.例3 求曲線x=t, y=t2, z=t3在點(1, 1, 1)處的切線及法平面方程.解因為xt162。(x), y162。可解得和. dydxdx239。dxdx, 237。(t0), y162。(t0), w162。(t0)=0.引入向量n=(Fx(x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), Fz(x0, y0, z0)),易見T與n是垂直的. 因為曲線G是曲面S上通過點M0的任意一條曲線, 它們在點M0的切線都與同一向量n垂直, 所以曲面上通過點M0的一切曲線在點M0的切線都在同一個平面上. 這個平面稱為曲面S在點M0的切平面. 這切平面的方程式是Fx(x0, y0, z0)(xx0)+Fy(x0, y0, z0)(yy0)+Fz(x0, y0, z0)(zz0)=0.曲面的法線: 通過點M0(x0, y0, z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線. 法線方程為xx0yy0zz0.==Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量. 向量n=(Fx(x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), Fz(x0, y0, z0))就是曲面S在點M0處的一個法向量.例5 求球面x2+y2+z2=14在點(1, 2, 3)處的切平面及法線方程式.解F(x, y, z)= x2+y2+z214,Fx=2x, Fy=2y , Fz=2z ,Fx(1, 2, 3)=2, Fy(1, 2, 3)=4, Fz(1, 2, 3)=6.法向量為n=(2, 4, 6), 或n=(1, 2, 3).所求切平面方程為2(x1)+4(y2)+6(z3)=0, 即x+2y+3z14=0.多元函數(shù)微分法及其應用法線方程為x1=y2=z3.123討論: 若曲面方程為z=f(x, y), 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?提示:此時F(x, y, z)=f(x, y)z .n=(fx(x0, y0), fy(x0, y0), 1)=x2+y21在點(2, 1, 4)處的切平面及法線方程.小結，連續(xù)性，導數(shù)；； 。x2+y2+z23x=(1,1,1)的切線與法平面。0).設函數(shù)z=f(x, y)在點P0(x0, y0)的某一鄰域U(P0)內有定義, P(x0+t cos a, y0+t cos b)為l上另一點, 且P206。l(x0,y0), 即182。f182。0f(x0+tcosa, y0+tcosb)f(x0,y0)=fx(x0,y0)cosj+fy(x0,y0)sinj.t這就證明了方向導數(shù)的存在, 且其值為182。f=。f182。el=(1, 1). 因為函數(shù)可微分, 且所以所求方向導數(shù)為182。y(1,0)=2xe2y(1,0)=2, 182。l(x0,y0,z0)=lim+t174。, 45176。f182。f的最大值。z=f(x,y