【正文】 . 由此可見(jiàn), 無(wú)論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù), 它的全微分形式是一樣的. 這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性. 例6 設(shè)z=e usin v, u=x y, v=x+y, 利用全微分形式不變性求全微分. 解 = e usin vdu+ e ucos v dv = e usin v(y dx+x dy )+ e ucos v(dx+dy) =( ye usin v+ e ucos v)dx+(xe usin v+ e ucos v )dy =e xy [y sin(x+y)+cos(x+y)]dx+ e xy [x sin(x+y)+cos(x+y)]dy . 167。0, 上式兩邊取極限, 即得 . 注:. 推廣: 設(shè)z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 則z=f[j(t), y(t), w(t)]對(duì)t 的導(dǎo)數(shù)為: . 上述稱為全導(dǎo)數(shù). 2. 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 定理2 如果函數(shù)u=j(x, y), v=y(x, y)都在點(diǎn)(x, y)具有對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)z=f(u, v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)z=f [j(x, y), y(x, y)]在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在, 且有 , . 推廣: 設(shè)z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 則 , . 討論: (1)設(shè)z=f(u, v), u=j(x, y), v=y(y), 則？？ 提示: , . (2)設(shè)z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 則？？ 提示: , . 這里與是不同的, 是把復(fù)合函數(shù)z=f[j(x, y), x, y]中的y看作不變而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù), 是把f(u, x, y)中的u及y看作不變而 對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù). 與也有類似的區(qū)別. 3．復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù), 又有多元函數(shù)的情形 定理3 如果函數(shù)u=j(x, y)在點(diǎn)(x, y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)v=y(y)在點(diǎn)y可導(dǎo), 函數(shù)z=f(u, v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)z=f[j(x, y), y(y)]在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在, 且有 , . 例1 設(shè)z=eusin v, u=xy, v=x+y, 求和. 解 =eusin vy+eucos v1 =ex y[y sin(x+y)+cos(x+y)], =eusin vx+eucos v1 =exy[x sin(x+y)+cos(x+y)]. 例2 設(shè), 而. 求和. 解 . . 例3 設(shè)z=uv+sin t , 而u=et, v=cos t. 求全導(dǎo)數(shù). 解 =vet+u(sin t)+cos t =etcos te tsin t+cos t =et(cos tsin t)+cos t . 例4 設(shè)w=f(x+y+z, xyz), f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 求及. 解 令u=x+y+z, v=xyz , 則w=f(u, v). 引入記號(hào): , 。z的相對(duì)誤差約為 . 167。dy, 則z的誤差 。. 問(wèn)由于測(cè)定l與T的誤差而引起g的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差各為多少？ 解 如果把測(cè)量l與T所產(chǎn)生的誤差當(dāng)作|Δl|與|ΔT|, 則利用上述計(jì)算公式所產(chǎn)生的誤差就是二元函數(shù)的全增量的絕對(duì)值|Δg|. 由于|Δl|, |ΔT|都很小, 因此我們可以用dg來(lái)近似地代替Δg. 這樣就得到g的誤差為 ,其中dl與dT為l與T的絕對(duì)誤差. 把l=100, T=2, dl=, δT=, 得g的絕對(duì)誤差約為 . . 從上面的例子可以看到, 對(duì)于一般的二元函數(shù)z=f(x, y), 如果自變量x 、y 的絕對(duì)誤差分別為dx、dy, 即 |Δx |163。=. 例6 利用單擺擺動(dòng)測(cè)定重力加速度g的公式是 .現(xiàn)測(cè)得單擺擺長(zhǎng)l與振動(dòng)周期T分別為l=100177。+12180。12+2180。(1)=200p (cm3). 即此圓柱體在受壓后體積約減少了200p cm3. 例5 計(jì)算(1. 04)2. 02的近似值. 解 設(shè)函數(shù)f (x, y)=x y . 顯然, 要計(jì)算的值就是函數(shù)在x=, y=(, ). 取x=1, y=2, Dx=, Dy=. 由于f (x+Dx, y+Dy)187。0. 05+p180。20180。 f(x, y)+f x (x, y)Dx+f y (x, y)Dy . 我們可以利用上述近似等式對(duì)二元函數(shù)作近似計(jì)算. 例4 有一圓柱體, 受壓后發(fā)生形變, 它的半徑由20cm增大到20. 05cm, 高度由100cu減少到99cm. 求此圓柱體體積變化的近似值. 解 設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V, 則有 V=p r 2h . 已知r=20, h=100, Dr=0. 05, Dh=1. 根據(jù)近似公式, 有 DV187。0而取極限, 就得 , 從而存在, 且. 同理存在, 且. 所以. 偏導(dǎo)數(shù)、存在是可微分的必要條件, 但不是充分條件. 例如, 函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)處雖然有f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0, 但函數(shù)在(0, 0)不可微分, 即Dz[fx(0, 0)Dx+fy(0, 0)Dy]不是較r高階的無(wú)窮小. 這是因?yàn)楫?dāng)(Dx, Dy)沿直線y=x趨于(0, 0)時(shí), . 定理2(充分條件) 如果函數(shù)z=f(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)(x, y)連續(xù), 則函數(shù)在該點(diǎn)可微分. 定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù). 按著習(xí)慣, Dx、Dy分別記作dx、dy, 并分別稱為自變量的微分, 則函數(shù)z=f(x, y)的全微分可寫(xiě)作 . 二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理. 疊加原理也適用于二元以上的函數(shù), 例如函數(shù)u=f (x, y, z) 的全微分為 . 例1 計(jì)算函數(shù)z=x2y +y2的全微分. 解 因?yàn)? , 所以dz=2xydx+(x2+2y)dy . 例2 計(jì)算函數(shù)z=exy在點(diǎn)(2, 1)處的全微分. 解 因?yàn)? , , , 所以 dz=e2dx+2e2dy . 例3 計(jì)算函數(shù)的全微分. 解 因?yàn)? , , 所以 . *二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 當(dāng)二元函數(shù)z=f (x, y)在點(diǎn)P (x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f x (x, y) , f y (x, y)連續(xù), 并且|Dx|, |Dy|都較小時(shí), 有近似等式Dz 187。(x+Dx, y+Dy), 有Dz=ADx+BDy+o(r). 特別當(dāng)Dy=0時(shí)有 f (x+Dx, y)f(x, y)=ADx+o(|Dx|). 上式兩邊各除以Dx, 再令Dx174。 f(x, y+Dy)f(x, y)187。8. 3全微分及其應(yīng)用 一、全微分的定義 根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系, 有 偏增量與偏微分: f(x+Dx, y)f(x, y)187。 , 。 , . 當(dāng)點(diǎn)P(x, y)沿x軸趨于點(diǎn)(0, 0)時(shí), 有 。是截線z=f(x, y0)在點(diǎn)M0處切線Tx對(duì)x軸的斜率. fy(x0, y0) =[f(x0, y)]y162。 , 。 .　　 例5 已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)), 求證: . 證 因?yàn)? 。8. 2 偏導(dǎo)數(shù) 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法 對(duì)于二元函數(shù)z=f(x, y), 如果只有自變量x 變化, 而自變量y固定, 這時(shí)它就是x的一元函數(shù), 這函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù), 就稱為二元函數(shù)z=f(x, y)對(duì)于x的偏導(dǎo)數(shù).　　 定義 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)有定義, 當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Dx時(shí), 相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Dx, y0)f(x0, y0). 如果極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù), 記作, , , 或.　　例如. 類似地, 函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處對(duì)y 的偏導(dǎo)數(shù)定義為, 記作 , , , 或fy(x0, y0). 偏導(dǎo)函數(shù): 如果函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x, y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在, 那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù), 它就稱為函數(shù)z=f(x, y)對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù), 記作, , , 或.偏導(dǎo)函數(shù)的定義式: . 類似地, 可定義函數(shù)z=f(x, y)對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù), 記為 , , zy , 或. 偏導(dǎo)函數(shù)的定義式: . 求時(shí), 只要把y暫時(shí)看作常量而對(duì)x求導(dǎo)數(shù)。D}, f(P2)=min{f(P)|P206。 且存在PP 2206。D, 有|f(P)|163。0}. P0(1, 2)為D的內(nèi)點(diǎn), 故存在P0的某一鄰域U(P0)204。 多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù). 多元初等函數(shù): 與一元初等函數(shù)類似, 多元初等函數(shù)是指可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù), 這個(gè)式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算而得到的. 例如, sin(x+y), 都是多元初等函數(shù). 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. 所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域. 由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性, 如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0處的極限, 而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi), 則 . 例7 求. 解: 函數(shù)是初等函數(shù), 它的定義域?yàn)? D={(x, y)|x185。1}, 圓周C={(x, y)|x2+y2=1}上的點(diǎn)都是D的聚點(diǎn), 而f(x, y)在C上沒(méi)有定義, 當(dāng)然f(x, y)在C上各點(diǎn)都不連續(xù), 所以圓周C上各點(diǎn)都是該函數(shù)的間斷點(diǎn). 注: 間斷點(diǎn)可能是孤立點(diǎn)也可能是曲線上的點(diǎn). 可以證明, 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)。R2. 因?yàn)? , 所以函數(shù)f(x,y)=sin x在點(diǎn)P0(x0, y0)連續(xù). 由P0的任意性知, sin x作為x, y的二元函數(shù)在R2上連續(xù). 類似的討論可知, 一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時(shí), 它們?cè)诟髯缘亩x域內(nèi)都是連續(xù)的. 定義4設(shè)函數(shù)f(x, y)的定義域?yàn)镈, P0(x0, y0)是D的聚點(diǎn). 如果函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)不連續(xù), 則稱P0(x0, y0)為函數(shù)f(x, y)的間斷點(diǎn). 例如 函數(shù),其定義域D=R2, O(0, 0)是D的聚點(diǎn). f(x, y)當(dāng)(x, y)174。 R2. e0, 由于sin x在x0處連續(xù), 故$d0, 當(dāng)|xx0|d時(shí), 有 |sin xsin x0|e. 以上述d作P0的d鄰域U(P0, d), 則當(dāng)P(x, y)206。2=2. 四. 多元函數(shù)的連續(xù)性 定義3 設(shè)二元函數(shù)f(P)=f (x, y)的定義域?yàn)镈, P0(x0, y0)為D的聚點(diǎn), 且P0206。P0). 上述定義的極限也稱為二重極限. 例4. 設(shè), 求證. 證 因?yàn)? , 可見(jiàn)e 0, 取, 則當(dāng) , 即時(shí), 總有|f(x, y)0|e, 因此. 必須注意: (1)二重極限存在, 是指P以任何方式趨于P0時(shí), 函數(shù)都無(wú)限接近于A. (2)如果當(dāng)P以