[理學(xué)]5-4定積分的換元法(已修改)
2025-01-31 14:34 本頁面
【正文】 2 由牛頓 —— 萊布尼茲公式，可以通過不定積分來 計(jì)算定積分 . 一般是將定積分的計(jì)算截然分成兩步： 先計(jì)算相應(yīng)的不定積分，然后再運(yùn)用牛頓 —— 萊布尼 茲公式代值計(jì)算出定積分 . 這種作法相當(dāng)麻煩，我們 希望將不定積分的計(jì)算方法與牛頓 —— 萊布尼茲公式 有機(jī)地結(jié)合起來，構(gòu)成定積分自身的計(jì)算方法 —— 定 積分的換元法和定積分的分部積分法 . 3 例 解 . d1 1 0 2? ? xx計(jì)算 數(shù)的一個(gè)原函數(shù)：先用不定積分求被積函?? ?? ttxx dc o sd1 22 sin tx ?令tt d)2co s1(21 ? ??Ctt ??? 4 2s in2 Cxxx ???? 21 21a r cs in21 得，—萊布尼茲公式—由牛頓 . 4 1 21a r c s i n21d1 1021 0 2 ???????? ????? xxxxx4 例 解 . d1 1 0 2? ? xx計(jì)算 數(shù)的一個(gè)原函數(shù)：先用不定積分求被積函?? ?? ttxx dco sd1 22 sin tx ?令tt d)2co s1(21 ? ??Ctt ??? 4 2s in2 Cxxx ???? 21 21arcs i n21 得，—萊布尼茲公式—由牛頓 . 4 1 21a r c s i n21d1 1021 0 2 ???????? ????? xxxxx10 ?? x20??? t?? ?? 2 0 21 0 2 dc o sd1 ? ttxx tt d)2c o s1(2 0 ??20 4 2s i n2??????? ?? tt . 4??有什么想法沒有？ 5 就是說，計(jì)算定積分時(shí)可以使用換元法 . 換元 時(shí)只要同時(shí)改變積分的上、下限，就不必再返回到 原來的變量，直接往下計(jì)算并運(yùn)用牛頓 —— 萊布尼 茲公式便可得到定積分的結(jié)果 . 6 一、定積分的換元法 Substitution Method 定理 1. 設(shè)函數(shù) 單值函數(shù) 滿足 : 1) ,],[)( 1 ??? Ct ?2) 在 ],[ ?? 上 。)(,)( ba ?? ????)(t? )(t??證 : 所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù) , 因此積分都存在 , 且它們的原函數(shù)也存在 . 是 的原函數(shù) , 因此有 則 )()( aFbF ?? )]([ ??F? )]([ ??F?)(t? )(t??)(t? )(t? )(t??則 7 說明 : 1) 當(dāng) ? ? , 即 區(qū)間換為 ，時(shí)],[ ?? 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意換元必?fù)Q限 , 原函數(shù)中的變量不必代回 . 3) 換元公式也可反過來使用 , 即 ))(( tx ??令xxfba d)(??或配元 )(t? )(d t?配元 (湊微分 )不換限 )(t? )(t??)(t? )(t??)(t? )(t??8 例 1. 計(jì)算 解 : 令 ,s in tax ? 則 ,dc o sd ttax ?。0,0 ?? tx 時(shí)當(dāng) ., 2??? tax 時(shí)∴ 原式 = 2atta d)2c o s1(2 202? ?? ?)2s i n21(22tta ?? 02??20? tt dcos 222 xay ??xoya且 9 例 2 計(jì)算 .s i nc o s20 5? ? xdxx解 令 ,c os xt ?2??x ,0?? t 0?x ,1?? t? ?20 5 s i nc o s xdxx??? 01 5 dtt1066t?.61?,s i n xdxdt ??10 例 3 計(jì)算 解 .si nsi n0 53? ? ? dxxxxxxf 53 si nsi n)( ??? ? ? 23s i nc o s xx?? ? ?? 0 53 s i ns i n dxxx ? ?? ?? 0
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