[理學(xué)]行波法與積分變換法(已修改)
2025-10-23 21:34 本頁面
【正文】 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 第三章 行波法與積分變換法 一 行波法 3 適用范圍： 無界域內(nèi)波動方程，等 … 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。 2 關(guān)鍵步驟： 通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 ?????????????????????????????xxtxuxxutxxuatu),()0,(),()0,(0,22222??01 22222??????? t uax u 0122222??????????????? utax0122??????????????????????????? utax011 ??????? ???????????? ?????? utaxtaxtax ????????? 1?tax ????????? 1?02?????????????????????uu)(?? fu ??? )()( 21 ?? ffu ??atx ??? atx ???2?? ??xat 2?? ????? ???????????? ttxx??? ???????????? ttxx)()( 21 atxfatxfu ?????????? ??????? tax 121?????? ??????? tax 121數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 ?????????????????????????????xxtxuxxutxxuatu),()0,(),()0,(0,22222??)()( 21 atxfatxfu ????)()()()0,( 21 xxfxfxu ????)()()()0,( 21 xxfaxfatxu ???????? Caxfxf x ??? ?021 d)(1)()( ???2d)(21)(21)(01Caxxfx ??? ? ????2d)(21)(21)(02Caxxfx ??? ? ????2d)(21)(212d)(21)(2100CaatxCaatxuatxatx ???????? ?? ?? ????????? ?11( ) ( ) ( ) d22 x a tx a tu x a t x a t a? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?一維波動方程的達(dá)朗貝爾公式 行波法 1t2t2f 1f數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 ? ?11( , ) ( ) ( ) ( ) d22 x atx atu x t x at x at a? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿 x 軸正、反向傳播的兩列波速為 a波的疊加，故稱為行波法。 a. 只有初始位移時， 代表以速度 a 沿 x 軸正向傳播的波 代表以速度 a 沿 x 軸負(fù)向傳播的波 ? ?1( , ) ( ) ( )2u x t x a t x a t??? ? ? ?()x at? ?()x at? ?4 解的物理意義 b. 只有初始速度時： 假使初始速度在區(qū)間 上是常數(shù) ，而在此區(qū)間外恒等于 0 1( , ) ( ) d2x atx atu x t a ? ? ???? ?11( , ) ( ) ( )u x t x a t x a t??? ? ? ?數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 ??????????????????222|,|,0002xttxtxxtta x eueuxuau? ?? ????? ??? atx atx saatxatx dsa s eeexu 222 2][)( 2 1)()(21解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式 ? ?? ????? ??? atx atx satxatx dseee 221)()(21 222 ][atxatxsatxatx eee ??????? ???? 222 [][21)()(212)( atxe ???? ?11( , ) ( ) ( ) ( ) d22 x atx atu x t x at x at a? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?5 達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 ? ?11( , ) ( ) ( ) ( ) d22 x atx atu x t x at x at a? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?1xx2xt2x x at??影響區(qū)域 1x x at??x1x x at??t1x決定區(qū)域 2x2x x at??xx at? x at?依賴區(qū)間 t( , )P x tx at C?? 特征線 特征變換 行波法又叫特征線法 atx ???atx ???6 相關(guān)概念 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 22222( , ) , , 0( , 0 )( , 0 ) ( ) , ( ) ,uua f x t x ttxuxu x x x xt??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ??7 非齊次問題的處理 222112211, , 0( , 0 )( , 0 ) ( ) , ( ) ,uua x ttxuxu x x x xt??? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ??222222222( , ) , , 0( , 0 )( , 0 ) 0 , 0 ,uua f x t x ttxuxu x xt? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ? ? ? ? ?
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