微分方程及其定解條件、等效積分(已修改)
2025-05-31 04:17 本頁面
【正文】 這一部分里，我們將看到以下內(nèi)容 ? 幾個典型物理問題及其數(shù)學(xué)描述（微分方程和定解條件） ? 微分方程的類型 ? 微分方程的邊界條件 ? 微分方程及其邊界條件的等效積分原理 幾個典型的問題 ?弦振動問題的微分方程及定解條件 ?傳熱問題的微分方程及定解條件 ?位勢方程及定解條件 弦是一種抽象模型，工程實際中，可以模擬繩鎖、 電纜等結(jié)構(gòu)，如遠距離輸電線路、一些橋梁的懸索、拉 鎖等；幾何上可以用一條線段（不一定是直線段）來表 示弦。 這里所說的弦的振動是弦的微小橫振動，一定長度 的、柔軟、均勻的弦，兩端拉緊，在垂直于弦線的外力下 做微小橫振動，弦的運動發(fā)生在同一平面內(nèi)，弦的各點位 移與平衡位置垂直 x? ?,u x t弦的長度 l，線密度為 ，弦的張力為 T ?O弦振動的微分方程為： 22222uuaftx??????2 /aT ?? f是垂直于平衡位置的外力 這個微分方程雖然描述了弦振動時各點的運動狀態(tài)， 但單純依靠這個微分方程，我們還不能唯一確定弦的 振動，必須給出定解條件，定解條件主要有兩種，一 種是初始時刻弦的運動狀態(tài)，稱為 初始條件 ： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?, 0 0, 0 0u x x x lux x x lt??? ? ??? ? ??初始時刻各點的位移 初始時刻各點的速度 另外一種定解條件是 邊界條件， 對于弦振動問題來說 給定弦的兩個端點的運動規(guī)律，一般來說邊界條件有 三種： 第一種給定弦端點的位移 ? ? ? ?? ? ? ?120,u t g tu l t g t???????第二種給定位移梯度的端點值 ? ? ? ?? ? ? ?0,uttxul t tx??????? ?????? ??位移的梯度表示弦線的撓度 第三種邊界條件是端點的位移和速度的線性組合是 一個已知函數(shù)，對于弦振動 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?010 , 0 ,uT t k u t txuT l t k u l t tx???????? ??????? ??這個邊界條件的物理意義是，弦的端點固定在兩個 彈性支撐上，兩個彈性支撐的彈性系數(shù)為： k0， k1 以上是弦振動的數(shù)學(xué)模型，是由微分方程與相應(yīng)的定 解條件（初值條件，邊值條件）共同組成的，這一樣 問題又稱為 混合初邊問題 。定解條件中只有初值條件 的問題稱為 初值問題 。定解條件中只有邊值條件的， 稱為 邊值問題。 下面來看第二個典型問題：熱傳導(dǎo)問題 三維非定常熱傳導(dǎo)問題的微分方程為： 0T T T Tc k k k ft x x y y z z????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???c?k0f物體的比熱容 物體的密度 物體的熱傳導(dǎo)系數(shù) 物體內(nèi)部熱源強度 與弦振動問題類似，要想確定物體內(nèi)部的溫度場，除 了上面那個微分方程以外，還需要定解條件，定解條 件也包括兩種：初值條件和邊值條件 初值條件，是初始時刻物體的溫度場 ? ?0 ,tT x y z?? ?邊值條件也有三種 第一種：給定邊界的溫度 ? ?,T x y z??? ?第二種：給定邊界的熱流量 ? ?, , ,T x y z tn ???? ??第三種：給定邊界的熱流量和溫度線性組合 ? ?,T h T x y zn ?????????????x y zT T T TT n n nn x y z? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?n下面來看第三個典型問題：位勢方程 在三維熱傳導(dǎo)問題中，如果溫度不隨時間變化，即 定常熱傳導(dǎo)，三維熱傳導(dǎo)方程可以寫為 0 0T T Tk k k fx x y y z z ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???假定物體是均勻的，那么這個方程可以進一步簡化 2222 2 2TTT gx y z???? ? ?? ? ?這個方程又稱為泊松（ Poisson）方程 再進一步，如果均勻物體中沒有熱源，穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程 為 2222 2 2 0TTTx y z???? ? ?? ? ?這就是我們熟悉的拉普拉斯方程（ Laplace） 以上給出的是泊松方程和拉普拉斯方程在笛卡爾坐標系 下的形式，下面給出它們的算子形式，它們在其它坐標 也成立系 2T T g? ? ? ? ?2 0TT? ? ? ? ?泊松方程 拉普拉斯方程 其中，在笛卡爾坐標系下： x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?i j k稱為哈密頓（ Hamilton）算子 2 2 222 2 2x y z? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?稱為拉普拉斯算子 從上面的
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