微分方程模型ppt課件(已修改)
2025-01-29 14:49 本頁面
【正文】 微分方程模型 馬忠明 動態(tài)模型 ? 描述對象特征隨時間 (空間 )的演變過程 ? 分析對象特征的變化規(guī)律 ? 預報對象特征的未來性態(tài) ? 研究控制對象特征的手段 ? 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù) 微分方程建模 ? 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設 ? 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口 (億 ) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增長概況 中國人口增長概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2022 人口 (億 ) 研究人口變化規(guī)律 控制人口過快增長 一、 人口增長模型 指數(shù)增長模型 —— 馬爾薩斯提出 (1798) 常用的計算公式 kk rxx )1(0 ??x(t) ~時刻 t的 人口 基本假設 : 人口 (相對 )增長率 r 是常數(shù) trtxtxttx ?????)()()(今年人口 x0, 年增長率 r k年后人口 0)0(, xxrxdtdx ??rtextx0)( ?trextx )()( 0? trx )1(0 ??隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長 指數(shù)增長模型的應用及局限性 ? 與 19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合 ? 適用于 19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 ? 可用于短期人口增長預測 ? 不符合 19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 ? 不能預測較長期的人口增長過程 19世紀后人口數(shù)據(jù) 人口增長率 r不是常數(shù) (逐漸下降 ) 阻滯增長模型 (Logistic模型 ) 人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因： 資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用 且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大 假設 )0,()( ??? srsxrxr r~固有增長率 (x很小時 ) xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量） )1()(mxxrxr ??r是 x的減函數(shù) mxrs ?0)( ?mxrrxdtdx ? )1()(mxxrxxxrdtdx ???dx/dt x 0 xm xm/2 xm x txxxemm rt( )( )?? ? ?1 10t x 0 x(t)~S形曲線 , x增加先快后慢 x0 xm/2 阻滯增長模型 (Logistic模型 ) 參數(shù)估計 用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口 預報，必須先估計模型參數(shù) r 或 r, xm ? 利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合 例：美國人口數(shù)據(jù)（單位 ~百萬） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 …… 專家估計 阻滯增長模型 (Logistic模型 ) r=, xm= 模型檢驗 用模型計算 2022年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較 ]/)1 9 9 0(1)[1 9 9 0()1 9 9 0()1 9 9 0()2 0 0 0( mxxrxxxxx ??????實際為 (百萬 ) 7 4)2 0 0 0( ?x模型應用 —— 預報美國 2022年的人口 加入 2022年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù) Logistic 模型在經(jīng)濟領域中的應用 (如耐用消費品的售量 ) 阻滯增長模型 (Logistic模型 ) r=, xm= x(2022)= Leslie模型與人口發(fā)展模型 ? 《 中國人口增長預測 》 論文 1 ? 《 中國人口增長預測 》 論文 2 人口預測和控制 )(),(,0),0( tNtrFtF m ??rFtrp???),(? 年齡分布對于人口預測的重要性 ? 只考慮自然出生與死亡，不計遷移 人口發(fā)展方程 的人口）年齡人口分布函數(shù) rtrF ?(~),(人口密度函數(shù)~),( trp 人口總數(shù)~)( tN最高年齡~)( ??mr),(),( trptrtprp ????????11,),(),()],(),([)],(),([
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