一元微積分學(xué)ppt標(biāo)準(zhǔn)課件-35－第35講一階微分方程-文庫吧
2024-10-04 08:19 本頁面
【正文】 方程的通解為 11 。xxCeCey ??? )( 1CeC ??你認(rèn)為做完了沒有？ 1 01 2 ，代入原方程可知：，得出令 ???? yy 1 也是原方程的解。??y 1 0 1 ，所以，對應(yīng)于；對應(yīng)于由于 ??????? CyCy原方程的解為 11 ，xxCeCey ??? ) ( 。為任意常數(shù)C 例 解 0d)1(d)1( 2 的通解。求方程 ???? yxyxy，得方程兩邊同除以 )1)(1( 2yx ?? 01 d1d 2 。???? yyx x兩邊同時(shí)積分，得 ||ln |1|ln21|1|ln 2 ，Cyx ???? ||1 |1| 2 。即 Cyx ???故所求通解為 11 2 。??? yCx你認(rèn)為還需要討論嗎？為什么？ 因?yàn)橹磺笸ń?，所以不必再討論了? 例 解 2dd 。的所有解求方程 yxy ?原方程即 。 )0( d2d ?? yxyy兩邊積分，得 ，Cxy ??故通解為 )( 2 。Cxy ?? 0 被包含在通解內(nèi)。也是方程的解，但它不易驗(yàn)證 ?y 0 看，方程的奇解是積分為方程的奇解，幾何上此時(shí)稱 ?y曲線族的包絡(luò)。 工程技術(shù)中解決某些問題時(shí)，需要用到方程的奇解。 二、齊次方程 ??????? xyfxydd齊次方程 d)( d xxuuf u ??變量分離方程 變量代換 uxy?xuuxy ddd ??)(dd ufuxux ??代入原方程，得 例 解 t a ndd 的通解。求方程 xyxyxy ?? dddd ，則令 xuxuxyxyu ???于是，原方程化為 dt a nd ，xxuu ?兩邊積分，得 dt a nd ，? ?? xxuu ||ln ||ln |sin|ln ，Cxu ??即 s in ，Cxu ? s i n 。故原方程的通解為 Cxxy ?xuuxy ddd ??uxuxxy ?? ddddxxxx s i nc o sc o tt a n1 ??三、可化為齊次方程的方程 ??????? XYXY ?dd齊次方程 ???????????222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程 變量代換 0111 ??? cybxa0222 ??? cybxa ， ?? ?? yx ，令 ?? ???? yYxX d)( d XXZZf Z ??變量分離方程 變量代換 ZXY ?三、可化為齊次方程的方程 ??????? XYXY ?dd齊次方程 ???????????222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程 變量代換 d)( d XXZZf Z ??變量分離方程 變量代換 例 解 0d)823(d)732( 2222 的通解。求 ?????? yyyxxxyx d2d d2d 22 ，，則，令 yyvxxuyvxu ????于是，原方程變?yōu)? 73
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