【正文】 的定義域，值域，會(huì)畫(huà)它們的圖象，并且要知道這些函數(shù)在哪些區(qū)間遞增，在哪些區(qū)間遞減，是否經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是什么？以后我們常常要用到。由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)。不是初等函數(shù)稱為非初等函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但有些分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，例如 ，是由復(fù)合而成。五 具有某些特性的函數(shù)1．奇（偶）函數(shù)定義 設(shè)D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的數(shù)集，y=f(x)為定義在D上 的函數(shù)，若對(duì)每一個(gè)，都有，則稱y=f(x)為D上的奇（偶）函數(shù)。 （1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件。 （2）若f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0，事實(shí)上，由定義知f(0)=f(0)，有f(0)=f(0)，得f(0)=0. 2．周期函數(shù) 定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在某個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)一切，都有f(x+T)=f(x)，則稱y=f(x)為周期函數(shù)，T稱為y=f(x)的一個(gè)周期。 顯然，若T是f(x)的周期，則也是f（x）的周期，若周期函數(shù)f(x)的所有正周期中存在最小正周期，則稱這個(gè)最小正周期為f(x)的基本周期，一般地，函數(shù)的周期是指的是基本周期。 必須指出的是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，例如f(x)=c（c為常數(shù)），因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)常數(shù)T，都有f(x+T)=f(x)=c。所以f(x)=c是周期函數(shù)，但在實(shí)數(shù)里沒(méi)有最小正常數(shù)，所以，周期函數(shù)f(x)=c沒(méi)有最小正周期。 如果f(x)為周期函數(shù)，且周期為T(mén)，任給，有f(x)=f(x+kT)，知。所以D是無(wú)窮區(qū)間，即無(wú)窮區(qū)間是周期函數(shù)的必要條件。 3．單調(diào)函數(shù) 定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若對(duì)D中任意兩個(gè)數(shù)x1,x2且x1x2,總有 ，則稱y=f(x)為D上的遞增（遞減）函數(shù)，特別地，若總成立嚴(yán)格不等式 ，則稱y=f(x)為D上嚴(yán)格遞增（遞減）函數(shù)。 遞增和遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴(yán)格遞增和嚴(yán)格遞減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。 4．分段函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)應(yīng)于不同的x范圍有著不同的表達(dá)形式，則稱該函數(shù)為分段函數(shù)。注意分段函數(shù)不是由幾個(gè)函數(shù)組成的，而是一個(gè)函數(shù)，我們經(jīng)常構(gòu)造分段函數(shù)來(lái)舉反例，常見(jiàn)的分段函數(shù)有符號(hào)函數(shù)、狄里克雷函數(shù)、取整函數(shù)。 5．有界函數(shù)與無(wú)界函數(shù) 定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在常數(shù)N≤M，使對(duì)每一個(gè)，都有 則稱f(x)為D上的有界函數(shù)，此時(shí)，稱N為f(x)在D上的一個(gè)下界，稱M為f(x)在D上的一個(gè)上界。由定義可知上、下界有無(wú)數(shù)個(gè)，我們也可寫(xiě)成如下的等價(jià)定義，使用更加方便。定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在常數(shù)M0，使得對(duì)每一個(gè)，都有 則f(x)為D上的有界函數(shù)。幾何意義，若f(x)為D上的有界函數(shù)，則f(x)的圖象完全落在直線y=M與y=M之間。注意：直線y=M，y=M不一定與曲線相切。有界函數(shù)定義的反面是定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若對(duì)每一個(gè)正常數(shù)M（無(wú)論M多么大），都存在，使，則稱f(x)為D上的無(wú)界函數(shù)。 6．函數(shù)的延拓與分解 有時(shí)我們需要由已知函數(shù)產(chǎn)生新的函數(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，這里我們從函數(shù)的特性出發(fā)，開(kāi)拓由已知產(chǎn)生新的函數(shù)的方法。 設(shè)，我考慮區(qū)間[a,a]上的函數(shù)F(x)，它是偶函數(shù)，且在[0,a]上，使F(x)=f(x)，則應(yīng)有稱F（x）是f(x)的偶延拓同樣可給出f(x)的奇延拓，即函數(shù)F（x）在[a,a]上的奇函數(shù)，且在（0,a）上，F(xiàn)（x）=f(x)，則應(yīng)有這樣，研究f(x)只要，研究F（x）就可以了。 同樣，對(duì)于函數(shù)y=f(x),，可以構(gòu)造一個(gè)以（ba）為周期的周期函數(shù)F（x），在（a,b）上，F(xiàn)（x）=f(x)，則有這就是函數(shù)f(x)的周期延招，研究f(x)只要研究F（x）就可以了。 此外，定義在區(qū)間（a,a）上的任何一個(gè)函數(shù)f(x)都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)和事實(shí)上設(shè) 由奇偶函數(shù)的定義知，f1(x)是奇函數(shù)。 f2(x)是偶函數(shù)，且.我們還可以證明f1(x)，f2(x)是唯一存在，如果,其中g(shù)1(x)是奇函數(shù)，g2(x)是偶函數(shù)，于是,解得，167。一、求函數(shù)定義域的方法1．若函數(shù)是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式子，則其定義域應(yīng)是使這式子有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合，且在（1）分式的分母不能為零； （2）偶次根號(hào)下應(yīng)大于或等于零；（3）對(duì)數(shù)式的真數(shù)應(yīng)大于零且底數(shù)大于零不為1； （4）arc sin 或arc，其；（5），其 （6）若函數(shù)的表達(dá)式由幾項(xiàng)組成，則它的定義域是各項(xiàng)定義域的交集；（7）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。，定義域是除了使數(shù)學(xué)式子有意義還應(yīng)當(dāng)確保實(shí)際有意義自變量取值全體組成的集合。，要依據(jù)函數(shù)定義及題設(shè)條件。 例1 求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2） 解（1）要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足?；?jiǎn)有 ,即 .解之，得定義域?yàn)?。?）要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足 ，即，化簡(jiǎn)有，不等式各邊除以（2）有，各邊取倒數(shù)得。解之，得函數(shù)的定義域?yàn)椤? 例2 不清設(shè)，求f(x)的定義域。 解 要使函數(shù)式子有意義，必須滿足 即 故所給函數(shù)的定義域?yàn)椤Ｗ⒁猓喝绻鸦?jiǎn)為，那么函數(shù)的定義域?yàn)榈囊磺袑?shí)數(shù)，因此，求函數(shù)的定義變形式時(shí)需特別小心，避免出錯(cuò)。 例3 已知且，求并寫(xiě)出它的定義域。 解 由，得，由，得，即x≤0，所以 。 例4 設(shè)f(x)的定義域?yàn)閇0，1]，試求f(x+a)+f(xa)的定義域（a0）。 解 要使f(x+a)+f(xa)有意義，必須滿足 得 當(dāng)時(shí)，由，知函數(shù)的定義域?yàn)?。?dāng)時(shí)，由a1—a，知定義域不存在。二、求函數(shù)值域的方法1. 由定義域x的范圍，利用不等式求出f(x)的范圍；2. 若y=f(x)有反函數(shù)x=f1(y)，求出反函數(shù)的定義域就是函數(shù)的值域；3. 利用一元二次方程的判別式求函數(shù)的值域。 例5 求下列函數(shù)值域：（1）； （2）； （3）。 解（1）令，于是。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)。故函數(shù)的值域是。 （2）由，得(x+3)y=x+1，解之，是的反函數(shù)，而的定義域是，故函數(shù)值域是。（3）由原函數(shù)式變形，得 ，即 。當(dāng)y1=0，即y=1時(shí)，x=0；當(dāng)，即。故函數(shù)的值域?yàn)閇0，4]。 三、判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)的方法 例6 判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)： （1）（i）； （ii） （2）（i）； （ii）。 解（1）由y=sinx的定義域是[0，π]，的定義域是[0，π]。知兩函數(shù)定義域相同，又知兩函數(shù)對(duì)應(yīng)法則相同，故（i）（ii）為同一函數(shù)。 （2）由的定義域是的全體實(shí)數(shù)，的定義域是的全體實(shí)數(shù)，知兩函數(shù)定義域不同，盡管當(dāng)時(shí)，知兩函數(shù)對(duì)應(yīng)法則相同，但（i）（ii）不是同一個(gè)函數(shù)。 四、求反函數(shù)方法 步驟：1. 從y=f(x)中解出x=f1(y) 。=f1(x),則y=f—1(x)是x=f—1(y)的反函數(shù). 例7 求下列函數(shù)的反函數(shù): (1)； （2）； （3） 解（1）由，知反函數(shù)為， 。 （2）由兩邊立方得即 解之 。所以反函數(shù)為（3）由 則反函數(shù)為 五、求復(fù)合函數(shù)的方法。 1．代入法 某一個(gè)函數(shù)中的自變量用另一個(gè)函數(shù)的表達(dá)式來(lái)替代，這種構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的方法，稱之為代入法，該法適用于初等函數(shù)的復(fù)合，關(guān)健搞清誰(shuí)是內(nèi)函數(shù)，誰(shuí)是外函數(shù)。2．分析法根據(jù)外函數(shù)定義的各區(qū)間段，結(jié)合中間變量的表達(dá)式及中間變量的定義域進(jìn)行分析，從而得出復(fù)合函數(shù)的方法，該方法用于初等函數(shù)與分段函數(shù)或分段函數(shù)與分段函數(shù)的復(fù)合。例8 設(shè).解 ， ，猜想 。當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論已成立，假設(shè)n=k時(shí)，成立，當(dāng)n=k+1時(shí)， 。即n=k+1時(shí)結(jié)論成立，故。 例9 設(shè)。 解 當(dāng)，當(dāng)。故 f(f(x))=1。 例10 設(shè)。 解 由（1）當(dāng)時(shí)或?；颍?）當(dāng)時(shí)或。或得 六、判斷奇偶函數(shù)的方法 偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 1. 奇函數(shù)的代數(shù)和仍為奇函數(shù)，偶函數(shù)的代數(shù)和仍為偶函數(shù)。 2. 偶數(shù)個(gè)奇（偶）函數(shù)之積為偶函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積為奇函數(shù)。 3. 一奇一偶的乘積為奇函數(shù) 4. 兩個(gè)奇函數(shù)復(fù)合仍為奇函數(shù)，一奇一偶復(fù)合為偶函數(shù)，兩個(gè)偶函數(shù)復(fù)合仍為偶函數(shù)。判斷方法 1．用定義 2．.若f(x)+f(x)=0，則f(x)為奇函數(shù)，這種方法適合用定義比較困難的題目。 例11 判斷下列函數(shù)的奇偶性： （1）； （2）； （3）（a0,a≠1常數(shù)） 解（1）由，知f(x)為偶函數(shù) （2）由 知f(x)為奇函數(shù)。 （3）由 ，知f(x)為奇