常微分方程--第三章 一階微分方程的解的存在定理(33-34)-文庫吧
2025-01-05 04:56 本頁面
【正文】 y00( , )xy0 0 0 0? ? ?? ? ? ?( , , ) ( , , ) , .x x y x x y a x b時(shí) ,方程 (1)過點(diǎn) 的解 在 [a,b]上也有 定義 ,且 2 1? ? ?( , ) , ( ) ), (dy f x y x y G Rdx方程 xy0 00( , )p x ya bm in ( , / 2 )? ? ??0x0y0y0xGD思路分析： 記積分曲線段 S： 顯然 S是 xy平面上的有界閉集 . 00??? ? ?( , , ) ( ) , [ , ]y x x y x x a b第一步 :找區(qū)域 D,使 ,且 在 D上滿足 . SD? ( , )f x yy x G 00( , )xy00: ( , , )S y x x y??iC(見下圖 ) 由已知條件 ,對 ,存在以它為中心的圓 ,使 在其內(nèi) 滿足 ,利普希茨常數(shù)為 .根據(jù)有限 覆蓋定理 ,存在 N,當(dāng) 時(shí) ,有 ??( , )x y S iCG?( , )f x y iL1NiiGC?? S G G??對 ,記 0???? ?( , ) , m in , / 2d G S? ? ? ?? ? ?則以 為半徑的圓 ,當(dāng)其圓心從 S的 左端點(diǎn)沿 S 運(yùn)動(dòng)到右端點(diǎn)時(shí) ,掃過 的區(qū)域即為符合條件的要找區(qū)域 D ?? ?1m a x , , NL L L? Gb a xy0 00( , )p x ya bm in( , / 2)? ? ??0x0yGDxy0 00( , )p x ya bm in ( , / 2 )? ? ??0x0y0y0xGD第二步 :證明 在 [a,b]上有定義 . 00( ) ( , , )x x x y?? ?dc假定 利用引理 2及 的連續(xù)性可得 : ()x??[ , ] [ , ]c d a b? ? ?? ? ? ?( ) ( ) , ( * )x x c x d000( ) ( ) ( ) ( )L x xx x x x e? ? ? ? ?? ? ?00 0 0 0( ( ) ( ) ( ) ( ) )L x xx x x x e? ? ? ? ?? ? ? ?)(0000 ))()((abLexxyy ????? ??)(1 )( abLe ??? ?? )(12 abLe ?? ? ?? ??10202)(1 )()(,21 ??????? ?????? ?? xxxxe abL 時(shí)當(dāng)對},m i n {0,)()(: 2122020 ???? ?????? yyxxRRyx ?? ),( 00第三步 :證明 ? ? ?? ? ? ?( ) ( ) ,x x a x b在不等式 (*)中將區(qū)間 [c,d] 換成 [a,b]即得 . ? 連續(xù)由于 )( x?根據(jù)上面定理及方程的解關(guān)于自變量的連續(xù)性 ,顯然有 : 3 定理 2 (解對初值的連續(xù)性定理 ) y( , )f x y條件 : 在 G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 滿足局部 。 2 1? ? ?( , ) , ( ) ), (dy f x y x y G Rdx方程 結(jié)論 : 在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的 . 00 ?( , )x y G00?? ( , , ) ,y x x y ,作為 的函數(shù) 00,x x y證明 ,),(00 Gyx ??對,),(),(),(),()(00000000上定義于的飽和解過yxxyxyxxyyx??? ???令 },),(),(),(|),{(00000000 GyxyxxyxyxxV ???? ??,),( 00 內(nèi)連續(xù)在下證 Vyxxy ??,),( 00 Vyxx ??對],[,],[),(],[ 000 baxxbayxxyba ??? 其中上有定義在使 ?使當(dāng)對 ,0,0 1 ???? ??時(shí),)()( 21202200 ????? yyxx],[,2),(),( 0000 baxyxxyxx ??? ???,],[),( 00 連續(xù)在而 baxyxxy ?? ?使當(dāng)故 ,02 ?? ? 時(shí)2??? xx],[,2),(),( 0000 baxxyxxyxx ??? ???則只要取 },m i n { 21 ??? ?就有,)()()( 22022002 ??????? yyxxxx),(),( 0000 yxxyxx ?? ?),(),( 0000 yxxyxx ?? ?? ),(),( 0000 yxxyxx ?? ????二 解對初值的可微性 的微分方程對含參量 ??? )(),( yxfdxdy ?條件滿足局部內(nèi)一致地關(guān)于且在連續(xù)在區(qū)域設(shè)L i ps c hi t zyGGyxyxGyxf?? ?????,)},(,),(|),{(),( ???),),(,),(,),((無關(guān)與條件滿足內(nèi)對在使為中心球以即對???? ??LLi p s c h i t zyCyxfGCyxGyx ????0 0 0 00 0 00 0 0 0 0( , ) , ( 3. 1 ) ( , , ), ( , , , )( , , , ) .x y Gy x x yy x x y??? ? ? ?????? ? ???則 對 方 程 通 過 點(diǎn)的 解
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