微分方程數(shù)值解法實(shí)驗(yàn)報(bào)告(已修改)
2025-08-02 17:34 本頁面
【正文】 微分方程數(shù)值解法實(shí)驗(yàn)報(bào)告姓名： 班級：學(xué)號：一：問題描述求解邊值問題：其精確解為問題一：取步長h=k=1/64,1/128,作五點(diǎn)差分格式，用Jacobi迭代法，Gauss_Seidel迭代法，SOR 迭代法（w=）。求解差分方程，以前后兩次重合到小數(shù)點(diǎn)后四位的迭代值作為解的近似值，比較三種解法的迭代次數(shù)以及差分解與精確解的精度。問題二：取步長h=k=1/64,1/128,作五點(diǎn)差分格式，用單參數(shù)和雙參數(shù)PR法解差分方程，近似到小數(shù)點(diǎn)后四位。與SOR法比較精度和迭代步數(shù)。問題三：取步長h=k=1/64,1/128,作五點(diǎn)差分格式，用共軛梯度法和預(yù)處理共軛梯度法解差分方程，近似到小數(shù)點(diǎn)后四位。與SOR法與PR法比較精度和迭代步數(shù)。二．實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?分別使用五點(diǎn)差分法（Jacobi迭代，Gauss_Seidel迭代，SOR迭代），PR交替隱式差分法（單參數(shù)，雙參數(shù)），共軛梯度法，預(yù)共軛梯度法分別求橢圓方程的數(shù)值解。三．實(shí)驗(yàn)原理：(1) Jacobi迭代法設(shè)線性方程組 (1)的系數(shù)矩陣A可逆且主對角元素均不為零,令 并將A分解成 (2)從而(1)可寫成 令 其中. (3)以為迭代矩陣的迭代法(公式) (4)稱為雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量來表示,(4)為 (5)其中為初始向量.(2) GuassSeidel迭代法由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步計(jì)算過程中是用的全部分量來計(jì)算的所有分量,顯然在計(jì)算第i個分量時,已經(jīng)計(jì)算出的最新分量沒有被利用，從直觀上看,，對這些最新計(jì)算出來的第次近似的分量加以利用,就得到所謂解方程組的高斯—塞德（GaussSeidel）迭代法.把矩陣A分解成 (6) 其中,分別為的主對角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程組(1)便可以寫成 即其中 (7)以為迭代矩陣構(gòu)成的迭代法(公式) (8)稱為高斯—塞德爾迭代法(公式),用 量表示的形式為 (3) SOR迭代 (4) 交替方向迭代法（PR法）迭代格式為：對于單參數(shù)PR法，對于多參數(shù)，(5) 共軛梯度法 算法步驟如下：［預(yù)置步］任意，計(jì)算，并令取：指定算法終止常數(shù)，置，進(jìn)入主步； ［主步］（１）如果，終止算法，輸出；否則下行； （２）計(jì)算：（３）計(jì)算： （４）置，轉(zhuǎn)入（１）． (6) 預(yù)共軛梯度法［預(yù)置步］任意，計(jì)算，并令取：指定算法終止常數(shù)，置，進(jìn)入主步； ［主步］（１）
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