第8章-偏微分方程數(shù)值解(已修改)
2025-08-17 11:00 本頁面
【正文】 第 8章 偏微分方程數(shù)值解 一、典型的偏微分方程介紹 1. 橢圓型方程 : 在研究有熱源穩(wěn)定狀態(tài)下的熱傳導(dǎo)，有固定外力作用下薄膜的平衡問題時，都會遇到Poisson方程 Dyxyxfyuxu ??????? ),(),(222202222??????yuxu Laplace 方程 Poisson方程 2. 拋物型方程 熱傳導(dǎo)方程 :在研究熱傳導(dǎo)過程、氣體擴(kuò)散現(xiàn)象、電磁場的傳播等問題中以及在統(tǒng)計物理、概率論和重子力學(xué)中，經(jīng)常遇到拋物型方程。這類方程中最簡單、最典型的是熱傳導(dǎo)方程。 Lxttxfxuatu ????????? 0,0),(22其中 a是常數(shù)。 它表示長度為 L的細(xì)桿內(nèi)，物體溫度分布的規(guī)律 3． 雙曲型方程 Lxttxfx uat u ????????? 0,0),(22222波動方程 (波的傳播、物體的振動 ) 它表示長度為 L的弦振動的規(guī)律。 二、定解問題 決定方程唯一解所必須給定的 初始條件 和 邊界條件 叫做定解條件 .定解條件由實際問題提出 .解條件 ? 拋物型方程邊界條件的提法應(yīng)為物體在端點的溫度分布為已知，即邊界條件 ??????0)(),()(),0(tttLuttu??? 雙曲型方程初始條件表示弦在兩端振動規(guī)律為已知： Lxxgxtuxfxu???????????0)()0,()()0,(? Poisson方程反應(yīng)穩(wěn)定狀態(tài)的情況，與時間無關(guān)，所以不需要提初始條件。邊界條件的提法為： ? 其中 ? (x, y)為已知邊界， s是區(qū)域 D的邊界。 ),(),( yxyxu s ??? 本章主要針對幾個典型的微分方程介紹常用的差分方法和有限元方法。 ? 這些方法基本思想是： ? 把一個連續(xù)問題離散化 ? 通過各種手法化成有限形式的線性方程組 ? 然后求其解。 ?計算機(jī)只能作有限次的加、減、乘、除運算，它既不能求導(dǎo)數(shù)，更不能解偏微分方程 ?如果想在計算機(jī)上求得微分方程數(shù)值解，它的主要做法是 ?把偏微分方程中所有的偏導(dǎo)數(shù)分別用差商代替 ?從而得到一個代數(shù)方程組 —— 差分方程組 ?然后對差分方程求解，并以所求的解作為偏微分方程數(shù)值解 差分法簡介 因此需要對區(qū)域進(jìn)行剖分，用網(wǎng)格點來代替連續(xù)區(qū)域，所以差分法亦稱 “ 網(wǎng)格法 ”。 0 x y 把整體分割成若干個單元來處理問題的方法在數(shù)學(xué)上稱為 “ 離散化方法 ” 。 在結(jié)點上采用離散化方法（數(shù)值微分、數(shù)值積分、泰勒展開等）將微分方程的初邊值問題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問題，這個相應(yīng)問題的解就是方程在點 xi上的數(shù)值解 f(x)，或在點（ xi , ti）上的數(shù)值解 U( xi , ti)。 一般來說，不同的離散化導(dǎo)致不同的方法。 例：取一邊長為 1的正方形均勻薄板，上下側(cè)面絕熱，四周保持恒溫，求板內(nèi)各點的穩(wěn)定溫定分布。 u=0 u=0 yu ?sin?u=0 0 x y ??????????????????????????????)10,10:(s i n0011002222yxyuuuuyuxuuxyyx?Laplace 方程第一邊值問題 222 ),1(),(2),1(hkiukiukiuxuik???????????????222 )1,(),(2)1,(hkiukiukiuyuik???????????????? ? ? ? ? ? ),(, kiyyxukhihyx kiki ??記 u在這些點滿足方程 02222??????????????????????ikikyuxu得到 u (i, k)的近似 ui,k，所滿足的線性代數(shù)方程組： ? ? 041 1,1,1,12 ????? ???? ikkikikiki uuuuuh其中 )3,2,1,(0400 ???? ikuuu iik??????????37 0 2117 0 4s i n。4kkkku k ?用迭代法來解方程組 ? ?1。1。1。141???? ???? kikikikiik uuuuu? ?)( 1。)( 1,)( 。1)( 。1)1(41 nkinkinkinkinik uuuuu ????? ????簡單迭代法 ? ?)( 1,)( ,1)1( 1,)1( ,1)1(41 nkinkinkinkinik uuuuu ??????? ????高斯 — 賽德爾迭代法 表 表 0 0 0 0 0 k=4 0 0 0 0 0 0 0 0 k=3 0 0 0 1 k=2 0 1 0 0 0 k=1 0 0 0 0 0 0 k=0 0 0 0 0 0 i=0 i=1 i=2 i=3 i=4 u(0) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 表 i=0 i=1 i=2 i=3 i=4 k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 表 i=0 i=1 i=2 i=3 i=4 k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 用差分法解偏微分方程需要考慮三個問題： 1．選用網(wǎng)格，將微分方程離散化為差分方程。 2．當(dāng)網(wǎng)格步長 h ?0時差分方程的準(zhǔn)確解是否收斂于微分方程的解？ 3．如何解相應(yīng)的代數(shù)方程組？ 橢圓型方程的差分解法 橢圓型方程最簡單的典型問題就是 拉普拉斯方程 02222????????yuxuu泊松方程 ),(2222yxfyu
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