偏微分方程式(pde)就是指含有偏導(dǎo)函數(shù)(partial(已修改)
2025-05-28 00:51 本頁面
【正文】 Chapter 2 Introduction to Partial Differential Equations偏微分方程式（PDE）就是指含有偏導(dǎo)函數(shù)（partial derivatives）的方程式，在常微分方程式（ODE）中，未知函數(shù)只是單變數(shù)函數(shù)，而在PDE中，未知函數(shù)則為多變數(shù)函數(shù)。在實(shí)際的工程或物理問題中，所欲分析的物理量（即未知函數(shù)）常受到不只一個變數(shù)的影響，所以一般多以PDE來表示。 PDE的分類(a) 以階數(shù)（order）區(qū)分：PDE的階數(shù)為方程式中的最高偏導(dǎo)函數(shù)的階數(shù)。例如，為2階PDE，為1階PDE，為3階PDE。(b) 以是否線性（linearity）區(qū)分：若PDE中的相依變數(shù)（即未知函數(shù)）及其偏導(dǎo)函數(shù)均為一次方（無乘方）且無彼此相乘的情況，則稱為線性PDE，反之為非線性PDE。例如， （1）其中A, B, C, D, E, F, G為常數(shù)，或x, y的函數(shù)。（1）式為線性的2階PDE。而為非線性之PDE。(c) 以是否齊性區(qū)分：以（1）式為例，G = 0時(shí)為齊性，G ≠ 0時(shí)為非齊性。(d) 以係數(shù)類型區(qū)分：分為常係數(shù)與變係數(shù)之PDE。(e) 所有像（1）式之線性PDE均可分為三大類型：當(dāng)B24AC = 0，為拋物線型(parabolic)，如熱方程式。當(dāng)B24AC 0，為雙曲線型(hyperbolic)，如波動方程式。當(dāng)B24AC 0，為橢圓型(elliptic)，如勢能方程式。此種區(qū)分方式與二次曲線的分類概念相似，其原理此處暫不詳述，將於後續(xù)章節(jié)說明。此外，在數(shù)學(xué)物理上有三個重要的典型PDE：波動方程式（wave equation），熱方程式（heat equation），勢能方程式（Laplace’s equation or potential equation），此亦即傳統(tǒng)PDE課程所探討之主要課題。 PDE的解法PDE的解法可分為解析法與數(shù)值方法，本課程將僅針對解析法做介紹。(a) 解析法：分離變數(shù)法（separation of variables）特徵函數(shù)展開法（eigenfunction expansion）積分變換法（integral transforms）座標(biāo)轉(zhuǎn)換法其他方法（略）(b) 數(shù)值方法：有限差分法（finite difference method）有限元素法（finite element method）其他方法（略）偏微分方程式的問題
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