含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程(已修改)
2024-10-31 13:27 本頁面
【正文】 定義 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，稱為微分方程．未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程．微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù) (或微分 )的最高階數(shù)，稱為微分方程的階． 一階微分方程的一般形式為 0),( ??yyxF . 基本概念 例如 ， 都是一階微分方程． 22 xyyy ????0d2d)( 2 ??? yxyxyx 定義 如果一個函數(shù)代入微分方程后，使得方程兩端恒等，則此函數(shù)稱為該微分方程的解． 基本概念 基本概念 例如， ， 都是微分方程 的解．其中 , 含有一個 任意常數(shù)，它稱為該微分方程的通解，而 是 時，該微分方程的解，它稱為該微分方程的特解． Cxy ?? 3 13 ?? xy13 ?? x 1??C23xy ?? Cxy ?? 3y 一般，如果一階微分方程的解中含有一 個任意常數(shù)，則稱此解為微分方程的通解，在通解中，如果可確定任意常數(shù)的值，所得到的解稱為微分方程的特解．為了確定任意常數(shù)的值，通常需給出 時未知函數(shù)對應(yīng)的值 ，記作 或 ． 這一條件稱為初始條件． 0xx?0yy ? 00 )( yxy ? 00 yy xx ?? 基本概念 如果一階微分方程 可以化為 0),( ??yyxFxxfyyg d)(d)( ?() 的形式，則 稱為可分離變量的微分方程． 微分方程 ()稱為變量已分離的微分方程． 0),( ??yyxF 在 ()式兩邊積分，得 ? ? ?? Cxxfyyg d)(d)( ， () 可分離變量的一階微分方程 其中 是任意常數(shù)． ()就是微分方程 ()的通解表達(dá)式．應(yīng) 注意 ，不定積分 ， 分別表示 和 的一個原函數(shù)，任意常數(shù) 要單獨寫出來． C? yyg d)( ? xxf d)( )(yg )(xfC 可分離變量的一階微分方程 例 1 解微分方程 ． )3(2 ??? yxy兩邊積分，得 解
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