函數(shù)的微分(ppt-54)(已修改)
2025-01-31 08:41 本頁(yè)面
【正文】 主要內(nèi)容 微分的定義； 微分的幾何意義； 求函數(shù)的微分； 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 . 一、問(wèn)題的提出 實(shí)例 :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量 . 200Ax?0x0x,00 xxx ??變到設(shè)邊長(zhǎng)由2()A x x?002200( ) ( )()A A x x A xx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ?.)(2 20 xxx ?????)1( )2(,。xA??的 線(xiàn) 性 函 數(shù) 且 為 的 主 要 部 分,.xx??的 高 階 無(wú) 窮 小 當(dāng) 很 小 時(shí) 可 忽 略:)1(:)2(x?x?2)( x?xx ?0xx ?0220()lim 0 ( ) ( ) .xx xxx ???? ? ? ? ? ??面積函數(shù) 再如 , 30,.y x xxy???設(shè) 函 數(shù) 在 點(diǎn) 處 的 改 變 量為 時(shí) 求 函 數(shù) 的 改 變 量3300()y x x x? ? ? ? ?.)()(33 32020 xxxxx ????????)1( )2(,很小時(shí)當(dāng) x?02023 ( ) 3 .xy x xxx ?? ? ? ?? ? ? ???),()2( xox ?? 的高階無(wú)窮小是既容易計(jì)算又是較好的近似值 23200003 30( ) ( )lim lim [ ( ) ]xxx x x x x xx? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??2303 ( ) ( ) ( )x x x x?? ? ? ? ? ? ?00( ) , ( )xx? ? ? ? ?)1(問(wèn)題 :這個(gè)線(xiàn)性函數(shù) (改變量的主要部分 )是否 所有函數(shù)的改變量都有（可微的條件） ?它是什么（微分的定義） ?如何求 ? 二、微分的定義 （是什么？） 定義 000000000( ) ,( ) ,( ) ,( ) ,(( ) ( ) (,.))x x x xy f xx x xAxy f x xy f x x xdy df xy f x x f x Ady Ax o xAxx????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????設(shè) 函 數(shù) 在 某 區(qū) 間 內(nèi) 有 定 義及 在 這 區(qū) 間 內(nèi) 如 果成 立 其 中 是 與 無(wú) 關(guān) 的 常 數(shù) 則 稱(chēng) 函 數(shù)在 點(diǎn) 可 微 并 且 稱(chēng) 為 函 數(shù)在 點(diǎn) 相 應(yīng) 于 自 變 量 增 量 的 微 分記 作 或 即.d y y?微 分 叫 做 函 數(shù) 增 量 的 線(xiàn) 性 主 部(微分的實(shí)質(zhì) ) 定義的幾點(diǎn)說(shuō)明 ： 。)1( 的線(xiàn)性函數(shù)是自變量的改變量 xdy ?。)()2( 高階無(wú)窮小是比 xxodyy ?????。,0)3( 是等價(jià)無(wú)窮小與時(shí)當(dāng) ydyA ??dyy??1( ) ( )A x x o xA x A x?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?).0(1 ??? x。)(,)4( 0 有關(guān)和但與無(wú)關(guān)的常數(shù)是與 xxfxA ?).(,)5( 線(xiàn)性主部很小時(shí)當(dāng) dyyx ???(定理 ) 三、可微的條件 (什么樣的函數(shù)可微？ ) 000( ) ( )( ) .f x x A f xf x x??函 數(shù) 在 點(diǎn) 可 微 ,且 的 充 要條 件 是 函 數(shù) 在 點(diǎn) 處 可 導(dǎo)定理 0 000( ) ( )( ) ( )xxd y f x x f x xy f x x x???? ? ??? ? ? ? ? ?函 數(shù) 在 點(diǎn) 可 導(dǎo)證 (1) 必要性 ,)(0 可微在點(diǎn) xxf?),( xoxAy ??????? ,)( xxoAxy ???????0 00()( ) lim limxxy o xf x Axx? ? ? ????? ? ? ?.A?).(,)( 00 xfAxxf ??且可導(dǎo)在點(diǎn)即函數(shù)(2) 充分性 0( ) ,y fxx ?? ????即,)( 0 可導(dǎo)在點(diǎn)函數(shù) xxf?),(lim 00xfxyx???????0li m 0,x ??? ?且0( ) ,y f x x x??? ? ? ? ? ? ?從 而),0(0 ???? x?0( ) ( ) ,y f x x o x?? ? ? ? ? ?00lim lim 0 ,xxxx? ?? ? ? ???? ? ??00( )
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