函數(shù)的微分(ppt-54)-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 定義 000000000( ) ,( ) ,( ) ,( ) ,(( ) ( ) (,.))x x x xy f xx x xAxy f x xy f x x xdy df xy f x x f x Ady Ax o xAxx????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????設(shè) 函 數(shù) 在 某 區(qū) 間 內(nèi) 有 定 義及 在 這 區(qū) 間 內(nèi) 如 果成 立 其 中 是 與 無(wú) 關(guān) 的 常 數(shù) 則 稱 函 數(shù)在 點(diǎn) 可 微 并 且 稱 為 函 數(shù)在 點(diǎn) 相 應(yīng) 于 自 變 量 增 量 的 微 分記 作 或 即.d y y?微 分 叫 做 函 數(shù) 增 量 的 線 性 主 部(微分的實(shí)質(zhì) ) 定義的幾點(diǎn)說(shuō)明 ： 。)(,)4( 0 有關(guān)和但與無(wú)關(guān)的常數(shù)是與 xxfxA ?).(,)5( 線性主部很小時(shí)當(dāng) dyyx ???(定理 ) 三、可微的條件 (什么樣的函數(shù)可微？ ) 000( ) ( )( ) .f x x A f xf x x??函 數(shù) 在 點(diǎn) 可 微 ,且 的 充 要條 件 是 函 數(shù) 在 點(diǎn) 處 可 導(dǎo)定理 0 000( ) ( )( ) ( )xxd y f x x f x xy f x x x???? ? ??? ? ? ? ? ?函 數(shù) 在 點(diǎn) 可 導(dǎo)證 (1) 必要性 ,)(0 可微在點(diǎn) xxf?),( xoxAy ??????? ,)( xxoAxy ???????0 00()( ) lim limxxy o xf x Axx? ? ? ????? ? ? ?.A?).(,)( 00 xfAxxf ??且可導(dǎo)在點(diǎn)即函數(shù)(2) 充分性 0( ) ,y fxx ?? ????即,)( 0 可導(dǎo)在點(diǎn)函數(shù) xxf?),(lim 00xfxyx???????0li m 0,x ??? ?且0( ) ,y f x x x??? ? ? ? ? ? ?從 而),0(0 ???? x?0( ) ( ) ,y f x x o x?? ? ? ? ? ?00lim lim 0 ,xxxx? ?? ? ? ???? ? ??00( ) , ( ) .f x x f x A???函 數(shù) 在 點(diǎn) 可 微 且( ) , ( ) , ( ) .y f x xd y d f x d y f x x???? 函 數(shù) 在 任 意 點(diǎn) 的 微 分 稱 為 函 數(shù) 的微 分 記 作 或 即例 1 解 , .y x d y? 求( ) 1 ,dy x x x x?? ? ? ? ? ? ?,yx?由 于 故 得.dy dx x? ? ?什么意思？ 自變量的增量就是自變量的微分： 函數(shù)的微分可以寫成 : 該例說(shuō)明 : x d x??()d y f x d x?? ( ) ( )d f x f x d x??或 ( ) , ( ) .dyd y f x d x f xdx????當(dāng) 時(shí) 有即 函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的 微分 d y 與自變量的微分 d x 的商 , 故導(dǎo)數(shù)也 可稱為微商 . 例 2 解 2 13y x x x? ? ?求 函 數(shù) 在 和 處 的 微 分 。( 2 ) ( ) c o s .d x d xd td t???22( 1 ) ( ) ( ) ( ) 2 ,d x C d x d C xdx? ? ? ?221 1 1( 2 ) ( ) [ ( ) ]2 2 2x d x x d x d x C d x C? ? ? ? ? ?21 ()2 xC?( 2 ) ( sin ) c os ,d t tdt? ? ??1c o s ( s in )td t d t?????1( s in ) c o s .d t C td t???? ? ?1( sin ) 。利用微分有時(shí)可 以把有些復(fù)雜的計(jì)算公式用簡(jiǎn)單的近似 公式代替。利用微分有時(shí)可以 把難算的函數(shù)用容易算的點(diǎn)的函數(shù)值求 其近似值代替 。( 2 ) si n ( ) 。 ( 2 ) .e33( 1 ) 99 10 00 ??3 )1 0 0 0(1 0 0 0 ??310 1 015? ? ?)(10 ??? .?0. 03( 2 ) 1 ?? 1 .0 3?作業(yè) 習(xí)題 25 2 、 4
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