[理學(xué)]第八章函數(shù)微分法及其應(yīng)用(已修改)
2025-01-31 15:10 本頁面
【正文】 第八章 多元函數(shù)微分學(xué) 一 多元函數(shù)與極限 二 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 三 多元函數(shù)的全微分及其應(yīng)用 四 多元復(fù)合函數(shù)的微分法 五 * 多元函數(shù)的極值 例 1 設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別 x 和 y ， 則矩形的面積 S 為 xyS ? . 在此，當(dāng) x 和 y 每取定一組值時(shí)，就有一確定的面積值 S ．即 S 依賴于 x 和 y 的變化而變化． 例 2 具有一定質(zhì)量的理想氣體，其體積為 V ，壓強(qiáng)為 P ，熱力學(xué)溫度 T 之間具有下面依賴關(guān)系VRTP ? （ R是常數(shù)） . 在這一問題中有三個(gè)變量 P ， V ， T ，當(dāng) V 和 T 每取定為一組值時(shí)，按照上面的關(guān)系，就有一確定的壓強(qiáng) P ． 一、多元函數(shù) 一、多元函數(shù)的概念 定義 1 ：設(shè)在某一過程中有三個(gè)變量 x , y 和 z，如果對(duì)于 變量 x , y 在其變化范圍 D 內(nèi)的每一對(duì)值 ( x , y )， 按照法則 f 有唯一確定的值 z ∈ R 與之對(duì)應(yīng)， 那么這種法則就規(guī)定了一個(gè)函數(shù)： 其中 x ， y 稱為 自變量 ， z 稱為 因變量 ， D為 定義域。 D中任一對(duì)數(shù) ( x , y )在法則 f 下的對(duì)應(yīng)值 z ，稱為 f 在 點(diǎn) ( x , y )的函數(shù)值，記作 z = f ( x , y ) 。 ),(),(:yxfzyxRDf??? 多元函數(shù)的概念 函數(shù) f 的函數(shù)值的全體 稱為函數(shù) f 的值域。 ? ?DyxyxfzzDf ??? ),(),()(函數(shù)的 兩個(gè)要素 :定義域，對(duì)應(yīng)法則 二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面 . xyz sin?例如 , 圖形如右圖 . 2222 azyx ???例如 , 右圖球面 . }.),{( 222 ayxyxD ???222 yxaz ???.222 yxaz ????單值分支 : xyzo一、多元函數(shù)極限 注意： 是指 P 以任何 方式趨于 P0 . 0PP ?,)(lim0Axfxx ???,)(lim0Axfxx ???.)(l i m0Axfxx ?? ?一元中 多元中 ,),(lim0AyxfPP ??. )( ) ( 0PPAxf 以某種方式趨于???Axfyyxx???)(lim00Ayxfyyxx???),(l i m00) ( 0Px ?軸沿平行Ayxfyyxx???),(l i m00) ( 0Py ?軸沿平行) )( (000Pxxkyy????沿 Ayxfxx ?? ),(l i m0000 )( yxxky ?????(1) 令 ),( yxP 沿 )( 00 xxkyy ??? 趨向于 ),( 000 yxP ， 若極限值與 k 有關(guān)，則可斷言極限不存在； (2) 找兩種不同趨近方式，使 ),(l i m00yxfyyxx??存在，但 兩者不相等，此時(shí)也可斷言 ),( yxf 在點(diǎn) ),( 000 yxP 處極限不存在． 確定極限不存在的方法： 二、多元函數(shù)連續(xù) 定義 3：設(shè)函數(shù) z = f ( x , y )在點(diǎn) 及其附近有定義 如果 ，就稱函數(shù) f ( x , y )在點(diǎn) 連續(xù)。如果 f ( x , y )在區(qū)域 D 的 每一點(diǎn)都連續(xù)，就稱 f ( x , y ) 在區(qū)域 D 連續(xù)。 ),( 000 yxP),(),(lim 00),(),(00yxfyxfyxyx ??0P( 1 ) 函數(shù) ),( yxf 在 ),(000yxP 點(diǎn)有定義； ( 2 ) ),(l i m00yxfyyxx??存在； ( 3 ) ),(),(lim0000yxfyxfyyxx???。 則稱函數(shù) ),( yxf 在點(diǎn) ),(000yxP 連續(xù) . 滿足以下條件： 多元初等函數(shù)： 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四 則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表 示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。 一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的． 在 定義域內(nèi)的 連續(xù)點(diǎn)求極限可用 “ 代入法 ” ： )()()(lim 000定義區(qū)域??? PPfPfPP例７ .11lim00 xyxyyx????求解 )11( 11l i m0
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