導數(shù)與微分ppt課件(已修改)
2024-11-15 20:18 本頁面
【正文】 導數(shù)與微分 第二章 導數(shù)與微分 導數(shù)與微分 167。 ２ １導數(shù)的概念 導數(shù)與微分 一、導數(shù)的定義 問題的提出 １ 000 0 0 0( ) ( )( ) l im l im l imt t tS t t S tSttt??? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ???１ 、 變速直線運動的速度 已知物體的運動方程 S=S(t),求 t時刻的瞬時 速度 。 導數(shù)與微分 ２ 、 質(zhì)量非均勻分布的細桿線密度 已知質(zhì)量 m=m(x),求某點的線密度 。 0 00( ) l im l imxxmxx??? ? ? ?????抽象為數(shù)學概念： 平均變化率： 當 時的極限稱為 x0處的 導數(shù) 。 xy??0??x導數(shù)與微分 導數(shù) derivative 定義 1 p24 xxfxxfxyxx ???????????)()(limlim 0000039。xxy ?記為： )( 039。 xf 0xxdxdy?變化率： 函數(shù)在點 的變化速度 。 定義 2：導函數(shù)的概念： 如果函數(shù) f(x) 在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)都可導，則區(qū)間 (a,b) 內(nèi)每一點x，都有一個導數(shù)值與之對應，就定義了一個新的函數(shù)，即函數(shù) f(x) 在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)對 x 的導函數(shù) derived function。 0x39。0()yx導數(shù)與微分 左導數(shù)和右導數(shù) )()()(lim)()()(lim039。000039。000xfxxfxxfxfxxfxxfxx??????????????????f’(x0) 存在的充分必要條件是左右導數(shù)存在 并相等 。 導數(shù)與微分 幾何意義 ： 是曲線在點 的切線斜率 。 物理意義 ：各種物理量的變化率 。 如：速度 、 加速度 、 電流 、 角加速度 、 感應電動勢等 。 )( 039。 xf ),( 00 yx求 求導方法： （ 1） 求出函數(shù)的增量 )()( 00 xfxxfy ?????A B x y x0 X0+△ x △ x △ y α φ Mo M T dy 導數(shù)與微分 ２、作出比值： xy??３、求出 時 的極限。 0??xxy??二 、 可導與連續(xù)的關(guān)系 函數(shù)在點 連續(xù) ， 指 ,可導是 存在 。 0x 0lim 0 ???? yxxyx ???? 0lim定理： 如果 y=f(x) 在點 x0處可導 ， 則它在點 x0 處一定連續(xù) 。 導數(shù)與微分 00)(l i ml i ml i ml i m 039。0000??????????????????????xfxxyxxyyxxxx逆命題不成立。 例：例 3 p24 結(jié)論：連續(xù)是可導的必要條件 ， 但不是充分條 件 。 即可導一定連續(xù) ， 連續(xù)不一定可導 。 三 、 導數(shù)的基本公式 ： 導數(shù)與微分 例 4： 常數(shù)函數(shù)的導數(shù) 設(shè)自變量增量 ， 恒有 則 因此 Cy ?x? 0???? CCy0???xy00l i ml i m00???????? xx xy 039。39。 ?? Cy導數(shù)與微分 例 5： 冪函數(shù) （ n為正整數(shù) ） 的導數(shù) nxy ?1 2 2( 1 )( ) [ ( ) ( ) ]2!n n n n n n nnny x x x x n x x x x x x?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L1 2 1( 1 ) ()2!n n ny n nn x x x xx? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??1039。 lim ??????? nxnxxyy139。)( ?? nn nxx即： 導數(shù)與微分 對于 n為任意實數(shù)時，上式也成立。 例 7： 正弦函數(shù) 的導數(shù) xy s in?2s i n)2c o s (2s i n)s i n ( xxxxxxy ??????????xxxxxy???????? 2s i n)2c o s (2導數(shù)與微分 xxyxyxc o slim)( s i n039。39。 ???????x x sin ) (cos 39。 ? ? 例 6： 對數(shù)函數(shù) 的導數(shù) )1,0(l o g ??? aaxya)1(l o gxxya????導數(shù)與微分 xxa xxxxy ?????? )1(l o g1axexxy aa ln1l o g1)( l o g 39。39。 ???特別地，當 時，有 ea ?xx1)( ln 39。 ?導數(shù)與微分 2000039。039。000039。000002239。 000000( ) ,1( ) l(()( ) ( )l i m( ) ( )) ( ,
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