【正文】
導(dǎo)數(shù)與微分 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分 167。 2 1導(dǎo)數(shù)的概念 導(dǎo)數(shù)與微分 一、導(dǎo)數(shù)的定義 問題的提出 1 000 0 0 0( ) ( )( ) l im l im l imt t tS t t S tSttt??? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ???1 、 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度 已知物體的運(yùn)動(dòng)方程 S=S(t),求 t時(shí)刻的瞬時(shí) 速度 。 導(dǎo)數(shù)與微分 2 、 質(zhì)量非均勻分布的細(xì)桿線密度 已知質(zhì)量 m=m(x),求某點(diǎn)的線密度 。 0 00( ) l im l imxxmxx??? ? ? ?????抽象為數(shù)學(xué)概念: 平均變化率: 當(dāng) 時(shí)的極限稱為 x0處的 導(dǎo)數(shù) 。 xy??0??x導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù) derivative 定義 1 p24 xxfxxfxyxx ???????????)()(limlim 0000039。xxy ?記為: )( 039。 xf 0xxdxdy?變化率: 函數(shù)在點(diǎn) 的變化速度 。 定義 2:導(dǎo)函數(shù)的概念: 如果函數(shù) f(x) 在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)都可導(dǎo),則區(qū)間 (a,b) 內(nèi)每一點(diǎn)x,都有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值與之對(duì)應(yīng),就定義了一個(gè)新的函數(shù),即函數(shù) f(x) 在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)對(duì) x 的導(dǎo)函數(shù) derived function。 0x39。0()yx導(dǎo)數(shù)與微分 左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù) )()()(lim)()()(lim039。000039。000xfxxfxxfxfxxfxxfxx??????????????????f’(x0) 存在的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)存在 并相等 。 導(dǎo)數(shù)與微分 幾何意義 : 是曲線在點(diǎn) 的切線斜率 。 物理意義 :各種物理量的變化率 。 如:速度 、 加速度 、 電流 、 角加速度 、 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等 。 )( 039。 xf ),( 00 yx求 求導(dǎo)方法: ( 1) 求出函數(shù)的增量 )()( 00 xfxxfy ?????A B x y x0 X0+△ x △ x △ y α φ Mo M T dy 導(dǎo)數(shù)與微分 2、作出比值: xy??3、求出 時(shí) 的極限。 0??xxy??二 、 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 函數(shù)在點(diǎn) 連續(xù) , 指 ,可導(dǎo)是 存在 。 0x 0lim 0 ???? yxxyx ???? 0lim定理: 如果 y=f(x) 在點(diǎn) x0處可導(dǎo) , 則它在點(diǎn) x0 處一定連續(xù) 。 導(dǎo)數(shù)與微分 00)(l i ml i ml i ml i m 039。0000??????????????????????xfxxyxxyyxxxx逆命題不成立。 例:例 3 p24 結(jié)論:連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件 , 但不是充分條 件 。 即可導(dǎo)一定連續(xù) , 連續(xù)不一定可導(dǎo) 。 三 、 導(dǎo)數(shù)的基本公式 : 導(dǎo)數(shù)與微分 例 4: 常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)自變量增量 , 恒有 則 因此 Cy ?x? 0???? CCy0???xy00l i ml i m00???????? xx xy 039。39。 ?? Cy導(dǎo)數(shù)與微分 例 5: 冪函數(shù) ( n為正整數(shù) ) 的導(dǎo)數(shù) nxy ?1 2 2( 1 )( ) [ ( ) ( ) ]2!n n n n n n nnny x x x x n x x x x x x?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L1 2 1( 1 ) ()2!n n ny n nn x x x xx? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??1039。 lim ??????? nxnxxyy139。)( ?? nn nxx即: 導(dǎo)數(shù)與微分 對(duì)于 n為任意實(shí)數(shù)時(shí),上式也成立。 例 7: 正弦函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) xy s in?2s i n)2c o s (2s i n)s i n ( xxxxxxy ??????????xxxxxy???????? 2s i n)2c o s (2導(dǎo)數(shù)與微分 xxyxyxc o slim)( s i n039。39。 ???????x x sin ) (cos 39。 ? ? 例 6: 對(duì)數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) )1,0(l o g ??? aaxya)1(l o gxxya????導(dǎo)數(shù)與微分 xxa xxxxy ?????? )1(l o g1axexxy aa ln1l o g1)( l o g 39。39。 ???特別地,當(dāng) 時(shí),有 ea ?xx1)( ln 39。 ?導(dǎo)數(shù)與微分 2000039。039。000039。000002239。 000000( ) ,1( ) l(()( ) ( )l i m( ) ( )) ( ,