第8章-偏微分方程數(shù)值解-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 xi , ti）上的數(shù)值解 U( xi , ti)。 ),(),( yxyxu s ??? 本章主要針對(duì)幾個(gè)典型的微分方程介紹常用的差分方法和有限元方法。 Lxttxfxuatu ????????? 0,0),(22其中 a是常數(shù)。這類方程中最簡(jiǎn)單、最典型的是熱傳導(dǎo)方程。邊界條件的提法為： ? 其中 ? (x, y)為已知邊界， s是區(qū)域 D的邊界。 0 x y 把整體分割成若干個(gè)單元來處理問題的方法在數(shù)學(xué)上稱為 “ 離散化方法 ” 。 u=0 u=0 yu ?sin?u=0 0 x y ??????????????????????????????)10,10:(s i n0011002222yxyuuuuyuxuuxyyx?Laplace 方程第一邊值問題 222 ),1(),(2),1(hkiukiukiuxuik???????????????222 )1,(),(2)1,(hkiukiukiuyuik???????????????? ? ? ? ? ? ),(, kiyyxukhihyx kiki ??記 u在這些點(diǎn)滿足方程 02222??????????????????????ikikyuxu得到 u (i, k)的近似 ui,k，所滿足的線性代數(shù)方程組： ? ? 041 1,1,1,12 ????? ???? ikkikikiki uuuuuh其中 )3,2,1,(0400 ???? ikuuu iik??????????37 0 2117 0 4s i n。141???? ???? kikikikiik uuuuu? ?)( 1。 2．當(dāng)網(wǎng)格步長(zhǎng) h ?0時(shí)差分方程的準(zhǔn)確解是否收斂于微分方程的解？ 3．如何解相應(yīng)的代數(shù)方程組？ 橢圓型方程的差分解法 橢圓型方程最簡(jiǎn)單的典型問題就是 拉普拉斯方程 02222????????yuxuu泊松方程 ),(2222yxfyuxuu ????????考慮泊松方程第一邊值問題： ????????????????????? ),(),( ),(),(2222yxyxuyxyxfyuxuu?(一 ) 矩形網(wǎng)格 設(shè) ?為 xy平面上一有界區(qū)域 ， ??為其邊界， 是分段光滑曲線。 設(shè)熱傳導(dǎo)方程： 定解條件 ),(22txfx uatu ??????(1) ?????????0),1(),0()(0tutuxu t ?(2) 求 （ 1） 滿足 （ 2） 的解。 182。 為了提高截?cái)嗾`差的階，可以利用中心差商： )(2 ),(),( 211 ?? otutxutxukjkjkj ??????????? ??j = 1, 2,… , N – 1； k = 0, 1, 2,… kjkjkjkjkjkj fhuuuauu ????? ????21111 22 ?（ 9） 得到 Richardson 格式，其結(jié)點(diǎn)圖為： * * * * （ j, k） * 截?cái)嗾`差階為 o (?2 + h2)， 較古典顯格式高 。 182。 ， 這一層其它點(diǎn)也無誤差，而且在計(jì)算過程 ??kje 0中不再產(chǎn)生新的誤差，利用（ 14）式算出誤差 ? 的傳播如下表： r = 189。 以上構(gòu)造的幾種差分格式中， 古典顯格式： r ≤1/2時(shí)穩(wěn)定 古典隱格式：絕對(duì)穩(wěn)定 Richardson格式：絕對(duì)不穩(wěn)定 六點(diǎn)對(duì)稱格式：絕對(duì)穩(wěn)定。 在物理上常見的雙曲型偏微分方程最簡(jiǎn)單模型是波動(dòng)方程 其中 ，如果引進(jìn)變量 0?a則得到與波動(dòng)方程等價(jià)的方程組 02222?????? x uat u() ?????????????????xUatWxWatU() xuaWtuU?????? , () 矩形網(wǎng)格 用兩組平行直線族 xj = jh, tn = n? (j = 0, ?1, … ， n = 0， 1,2 …) 構(gòu)成的矩形 網(wǎng)覆蓋了 xt平面，網(wǎng)格點(diǎn) （ xj, tn） 稱為結(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)記為 （ j, n） ， h、 ?為常數(shù)，分別 稱為空間步長(zhǎng)及時(shí)間步長(zhǎng)， 或稱 h為沿 x方向的步長(zhǎng)，稱 ?為沿 t方向的步長(zhǎng)， N為正整數(shù)。 將迎風(fēng)格式寫為統(tǒng)一形式： ????????????? ??? )(2)(2 111 njnjnjnjnjnj uuaauuaaruu穩(wěn)定性條件為： 1?ra() b) LaxFriedrichs格式 該格式構(gòu)造于 1954年，用到 )(21 11 njnjnj uuu ?? ??的技巧，截?cái)嗾`差為 ： )( 22hoho ?????????? ??節(jié)點(diǎn)分布 圖： * * * * （ j, n） 02)(2111111??????????huuuuu njnjnjnjnj?() 傳播因子 khi arkhkG s i nc os),( ???khrakhrakhkG 22222222 s i n)1(1s i nc o s),( ??????
醫(yī)療健康相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1