第8章-偏微分方程數(shù)值解-預(yù)覽頁
【正文】 xi , ti）上的數(shù)值解 U( xi , ti)。 ),(),( yxyxu s ??? 本章主要針對幾個典型的微分方程介紹常用的差分方法和有限元方法。 Lxttxfxuatu ????????? 0,0),(22其中 a是常數(shù)。這類方程中最簡單、最典型的是熱傳導(dǎo)方程。邊界條件的提法為： ? 其中 ? (x, y)為已知邊界， s是區(qū)域 D的邊界。 0 x y 把整體分割成若干個單元來處理問題的方法在數(shù)學(xué)上稱為 “ 離散化方法 ” 。 u=0 u=0 yu ?sin?u=0 0 x y ??????????????????????????????)10,10:(s i n0011002222yxyuuuuyuxuuxyyx?Laplace 方程第一邊值問題 222 ),1(),(2),1(hkiukiukiuxuik???????????????222 )1,(),(2)1,(hkiukiukiuyuik???????????????? ? ? ? ? ? ),(, kiyyxukhihyx kiki ??記 u在這些點滿足方程 02222??????????????????????ikikyuxu得到 u (i, k)的近似 ui,k，所滿足的線性代數(shù)方程組： ? ? 041 1,1,1,12 ????? ???? ikkikikiki uuuuuh其中 )3,2,1,(0400 ???? ikuuu iik??????????37 0 2117 0 4s i n。141???? ???? kikikikiik uuuuu? ?)( 1。 2．當(dāng)網(wǎng)格步長 h ?0時差分方程的準(zhǔn)確解是否收斂于微分方程的解？ 3．如何解相應(yīng)的代數(shù)方程組？ 橢圓型方程的差分解法 橢圓型方程最簡單的典型問題就是 拉普拉斯方程 02222????????yuxuu泊松方程 ),(2222yxfyuxuu ????????考慮泊松方程第一邊值問題： ????????????????????? ),(),( ),(),(2222yxyxuyxyxfyuxuu?(一 ) 矩形網(wǎng)格 設(shè) ?為 xy平面上一有界區(qū)域 ， ??為其邊界， 是分段光滑曲線。 設(shè)熱傳導(dǎo)方程： 定解條件 ),(22txfx uatu ??????(1) ?????????0),1(),0()(0tutuxu t ?(2) 求 （ 1） 滿足 （ 2） 的解。 182。 為了提高截斷誤差的階，可以利用中心差商： )(2 ),(),( 211 ?? otutxutxukjkjkj ??????????? ??j = 1, 2,… , N – 1； k = 0, 1, 2,… kjkjkjkjkjkj fhuuuauu ????? ????21111 22 ?（ 9） 得到 Richardson 格式，其結(jié)點圖為： * * * * （ j, k） * 截斷誤差階為 o (?2 + h2)， 較古典顯格式高 。 182。 ， 這一層其它點也無誤差，而且在計算過程 ??kje 0中不再產(chǎn)生新的誤差，利用（ 14）式算出誤差 ? 的傳播如下表： r = 189。 以上構(gòu)造的幾種差分格式中， 古典顯格式： r ≤1/2時穩(wěn)定 古典隱格式：絕對穩(wěn)定 Richardson格式：絕對不穩(wěn)定 六點對稱格式：絕對穩(wěn)定。 在物理上常見的雙曲型偏微分方程最簡單模型是波動方程 其中 ，如果引進(jìn)變量 0?a則得到與波動方程等價的方程組 02222?????? x uat u() ?????????????????xUatWxWatU() xuaWtuU?????? , () 矩形網(wǎng)格 用兩組平行直線族 xj = jh, tn = n? (j = 0, ?1, … ， n = 0， 1,2 …) 構(gòu)成的矩形 網(wǎng)覆蓋了 xt平面，網(wǎng)格點 （ xj, tn） 稱為結(jié)點，簡記為 （ j, n） ， h、 ?為常數(shù)，分別 稱為空間步長及時間步長， 或稱 h為沿 x方向的步長，稱 ?為沿 t方向的步長， N為正整數(shù)。 將迎風(fēng)格式寫為統(tǒng)一形式： ????????????? ??? )(2)(2 111 njnjnjnjnjnj uuaauuaaruu穩(wěn)定性條件為： 1?ra() b) LaxFriedrichs格式 該格式構(gòu)造于 1954年，用到 )(21 11 njnjnj uuu ?? ??的技巧，截斷誤差為 ： )( 22hoho ?????????? ??節(jié)點分布 圖： * * * * （ j, n） 02)(2111111??????????huuuuu njnjnjnjnj?() 傳播因子 khi arkhkG s i nc os),( ???khrakhrakhkG 22222222 s i n)1(1s i nc o s),( ??????
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