【正文】 ]()(2)([)]()([)(1)(()()()(3)()()()1(2****???????????????)6()()()()()2()( 2 xpxQqpxQpxQ m????????? ???）式，比較等代入（是待定系數(shù)。室溫在幾小時內(nèi)始終保持 ， 此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱自己是無罪的，并有證人說：“下午張某一直在辦公室上班， 5： 00時打了一個電話，打完電話后就離開了辦公室。 解 以繩索所在的平面為 平面，設(shè)繩索最低點為 y軸上的 P點，如圖 8－ 1所示。235235572208???????????dtTteCT變化規(guī)律。 一。求微分方程例.2,4022 0022的特解滿足初值條件求方程例 ?????? ?? tt SSSdtdSdtSdtttetCtSCSetCCtSrrrr???????????????)4()(44)()(101221021212，從而有代入通解，得將初值條件，故所求方程的通解為它有兩個相等的實根所給方程的特征方程為解tttetSCSetCCtS????????????)64(62)4()(2022求特解為，于是所，代入上式便可得出再由條件那么)2s i n2c o s(.21,21052.052321212xCxCeyirirrryyyx??????????????????所得原方程的通解為解得特征根為對應(yīng)的特征方程為解的通解求方程例 三 .二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 由定理 3可知，求二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解，可歸結(jié)為求它對應(yīng)的齊次方程的通解和它本身的一個特解。與是線性無關(guān)的，而與例如，）（否則稱為線性無關(guān)）線性相關(guān)（與則稱常數(shù)之比與如果兩個函數(shù)xxxeeexcei n d e p e n d e nl i n e a r l yd e p e n d e n c el i n e a r l yyykyyxyxy3.,)(/)()(212121?綜上所述，有如下關(guān)于二階線性齊次微分方程的 通解結(jié)構(gòu)的定理。求微分方程例出其特解，要求個相互獨立的任意常數(shù)有階微分方程的通解中含是所求的通解。y ?的解法。（ 4）為微分方程（ 1）的解，而（ 8）和（ 10）則是微分方程（ 5）的解。所以汽車不會撞到小孩（米）512??????S二 .微分方程的基本概念 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，稱為微分方程（ differential equation） .未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，叫常微分方程（ ordinary differential equation ） .未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，叫做偏微分方程（ partial differential equation） .這里我們只討論常微分方程，簡稱為微分方程，例如 )11()(22xfqydxdypdxyd ???)13(01)12(2????nndxydxydxdy等都是常微分方程。 例 2 求微分方程 dyxydxyx )1()1( 22 ??? 的通解即在條件 下的特解10 ??xy解 分離變量，得 )1(1ln21)1l n (21)1l n (2111222222xCyCxydxxxdyyy?????????＋即兩端積分，得xyCy x ???? 從而所求特解為確定再利用初值條件 ,1,11 例 3 種群的自然生長受到環(huán)境資源的限制，若種群數(shù) 的最大容量為 b， 則種群生長速度不僅與 t時刻種群數(shù)量 N成正比，且與密度制約因子 bNb? 成正比，試確定種群 生長規(guī)律。下面介紹三種常見的可降階的微分方程的求解方法。也是方程（＋所以＋）＋（＋）＋（代入原方程，有＋將220)()()(002122112211222211112211221122112211222111CCyCyCyyCyCqyypyCqyypyCyCyCqyCyCpyCyCyCyCqyypyqyypy???????????????????????????????）的通解。）的兩個特解這時只能得到方程（是兩個相異實根）（不同的形式。但在很多情況下，函數(shù)關(guān)系不能直接找到，而只能間接的得到這些量及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，從而使得微分方程在眾多領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用。假定尸體溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化率正比于尸體溫度與室溫的差，即 tkktetTkeTCCTCetTktkdtdT)(.103115ln,)1()1()()(???????????????????于是所以又因為所以因為此微分方程的通解為。這樣，力總沿著繩索的切線方所以繩索上各點所受張TxQSPQP?.?lSgSTglT????????t a nc o s,s i n上面兩式相除，得122000202)1l n (1,0,)1()1(,t an),(CxSgpppSgdxdpdxdpypyyayaOPdxySgydxylyxyyxxxx?????????????????????????????????解得化為，則上述二階微分方程令條件為則上面微分方程的初值微分方程。嫌疑犯之外，否則不能室，則他可被排除在。并用待定系數(shù)法來確定次多項式，可令須是次多項式，從而必須是）式兩邊恒等，要使（，＝＋且＝時是特征方程的重根，此)()()()()(2)()(6020)3(22xpexfxQxQxxQmxQmxQpqpmxmm????????????.210,)()(，根依次取是特征方程的單根或重不是特征根按同次的多項式，而是與的特解，其中?kxpxQ mmxmk exQxy ?)(3 * ?）具有形如（.0,113)()(.13324??????????????mxexpxfxyyyxm所以中齊次線性微分方程，其這是二階方程常系數(shù)非解的一個特解求方程例.3,1032212??????rrrr其特征根為特征方程為所給方程對應(yīng)的齊次的10*0AxAy ??特解為不是特征根，所以應(yīng)設(shè)＝由于 ?31.31,11323313323*10100100*???????????????????xyAAAAAxxAAxAy特解為于是求得原方程的一個解得同次冪的系數(shù)，得比較代入所給方程，得將xAxAyeAxAxyxCCeyrrrryyymxeexpxfyyxeyyyxxxxmxxx426)(1)(,101202.1,14)()(.1,242510*102*21_21200?????????????????????????????????代入原方程，得將的一個特解為可設(shè)非齊次方程是特征方程的重根，故由于通解為因此對應(yīng)的齊次方程的解得特征根為其特征方程為為原方程對應(yīng)的齊次方程，所以該方程自由項解的特解滿足初值條件求方程例????xxxxxxexxexCCyCyexxCCeyexyAAx)322()2(,2232)(32,0,323222103213*10???????????????又因為可得到根據(jù)初值條件則所求方程的通解為一個特解于是得到非齊次方程的同次冪系數(shù)，得比較等式兩邊。而它就是方程（意常數(shù)，從中也含有兩個獨立的任的任意常數(shù)，所以中含有兩個獨立通解由所對應(yīng)的齊次方程的）的解。對上式再進(jìn)行積分，得或即兩邊積分得0,041lnlnln)l n ( l