微分方程解法ppt課件-在線瀏覽
2024-12-21 21:15本頁面
【正文】 dtdNNbNbkdtdN??????其中或：解由題設(shè)條件可得方程)(CabtNbNabdtdNNbNNbNadtNbNdNlnln)()()(??????????得兩邊積分分離變量，得。y ?的解法。）成為線性非其次微分時，方程（當(dāng)程；）稱為線性其次微分方則方程（如果)2(0)(10)(1,0)(?????yxPyxQxQ?????CdxxPydxxPydyln)(ln)(2.＋兩端積分，得后，得方程，分離變量）是可分離變量的微分方程（一階線性齊次微分方程一.012ln1)(CxCeCeyyxyCeyxdxxdxxP????????????的通解為比如線性齊次微分方程）的通解。現(xiàn)在，我們把 對應(yīng)的其齊次方程的通解（ 3）中的任意常數(shù) C換成 X的待定函數(shù) C（ x） ,即令 情形，可以設(shè)想 , ）的解。由此可知，一階線性非齊次微分方程的通解等于它對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。 對應(yīng)齊次方程利用常數(shù)變易法，先求方法一，其中它是一階線性微分方程將方程改寫為解的通解求方程例xexQxxPxexyyeyyxxxx????????)(,1)(1Cxydxxdyyyxylnlnln1101????????兩邊積分，得量：的通解，為此，分離變)(1)()()(),(CexyCexCexCxxCyxCxCxCyxxx????????于是原方程的通解為解得原方程，經(jīng)整理得代入并將的待定函數(shù)換成將或 方法二 直接利用非齊次方程的通解公式（ 5），得 )()(lnln11CdxexeeCdxexeeyxxxdxxxdxx??????????)(1)(1CexCdxexxx???? ?），得代入公式（程，其中這是一階線性非齊次方原方程可化為例51)(,2)(12222xxxQxxPxxxydxdy??????)1(222? ????? Cexxeydxxdxx21222222ln22ln221121,21,0)12(1)1(1)1(xxyCyxCxxxCdxxxxxCdxexxexxx???????????????????故所求特解為得再由初值條件自變量，則原方程化為作為看作未知函數(shù)，但若把線性微分方程的一階未知函數(shù)顯然這個方程不是關(guān)于解的通解。性微代換，把它化為一階線時，我們可以通過變量方程，當(dāng)時，就是一階線性微分或當(dāng) 1,010 ??? nnn)()()(11)()(111xQyxPdxydnxQyxPdxdyyynnnnn?????????或，得方程兩邊同時除以)()1()()1(,1xQnzxPndxdzyz n????? ? 則上式可化為引入新的未知函數(shù)255256662151)(511.4xydxydxyxdxdyyyyxxydxdyzyzn????????????即除方程兩端，得，以解此方程為伯努利方程的通解求方程例通解?？赏ㄟ^適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將它轉(zhuǎn)化為較低階的方程來求解。 階的微分方程兩邊積分一次，得一個方程的未知函數(shù)的一階微分則原方程可化為關(guān)于新作為新的未知函數(shù)，要把對于此類微分方程，只型的高階微分方程一1)()(.)1()1()(?????ndxxfdyyxfynnn? ?個任意常數(shù)的通解。求微分方程例出其特解，要求個相互獨立的任意常數(shù)有階微分方程的通解中含是所求的通解。 解 由題意知 0,0)()1(s i n2000)(22????????? tttndtdsvSxfytdtsd條件為運動，所以初值物體是由靜止?fàn)顟B(tài)開始型的二階微分方程。 系式。滿足初值條件求方程例這就是該方程的通解。求微分方程例的通解：pyppdydpypdydppypyxyyyCxCydy0002,0)(25),(2221??????????????????yCdxdyyCpCypydypdp111lnln21ln2???????或即兩端積分得232121231)( CxCyCxCydxCdyy?????：兩邊積分后得所求通解分離變量23211)(00)(0CxCyyCCyp?????方程的通解是也包含在其中，所以原），＝解之中（，顯然它包含在上述通任意常數(shù)，則若 二階常系數(shù)線性微分方程 ）（為常數(shù)形如 1).()( qpxfqyypy ??????的微分方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程（ linear second order differential equation with constant coefficients），其中 f(x)叫做自由項，當(dāng) 0)( ?xf 時，方程（ 1）叫做二階線性齊次微分方程，當(dāng) 0)( ?xf 時，方程（ 1）叫做二階線性非齊次微分 方程。 一 .通解的結(jié)構(gòu) 定理 1 如果 是二階線性齊次方程 )()( 21 xyxy 與)2(0????? qyypy ＋）的解，所以方程（證由于是是任意常數(shù)。這是因為方程（常數(shù)，但它卻不一定是兩個任意與從形式上來看含有＋）的解。程（獨立的任意常數(shù)，是方中才確實含有兩個＋時，）的通解。與是線性無關(guān)的，而與例如，）（否則稱為線性無關(guān)）線性相關(guān)（與則稱常數(shù)之比與如果兩個函數(shù)xxxeeexcei n d e p e n d e nl i n e a r l yd e p e n d e n c el i n e a r l yyykyyxyxy3.,)(/)()(212121?綜上所述，有如下關(guān)于二階線性齊次微分方程的 通解結(jié)構(gòu)的定理。由前面討論我們次微分方程的通解結(jié)構(gòu)下面討論二階線性非齊為任意常數(shù)。實際上，二階及更高階的線性非齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)也由類似的結(jié)論。方程（是二階線性非齊次微分的通解，那么是與之對應(yīng)的齊次方程的一個特解，340)(33)4(____*****_2211_????????????????yqypyyxfqypyyyyyyyCyCy)()(0)()()()()(***___*_*_*_xfxfqypyyyqypyyyqyypyy???????????????????????）的通解。是方程（所以33*_2211_*_yyyyCyCyyyy??????二 .二階常系數(shù)線性齊次微分方程 由定理 2 可知，求二階線性齊次微分方程的通解，可歸結(jié)為求方程的兩個線性無關(guān)的特解。滿足方程（，使找到待定常數(shù)看能否我們不妨設(shè)就具有上述特點。求方程（ 2）的通解就歸結(jié)為 求特征方程的根： 還要設(shè)法求出的一個特解這時只能得到齊次方程是兩個相等實根）的通解為（線性無關(guān)，從而方程與常數(shù)，所以由于。解也有三種，相應(yīng)的微分方程的通它們有三種不同的情形,)2(2/21241212121)(21212122,1212121rxxrxrxrrxrxreyrrreCeCyyyeyyeyeyrr
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