常微分方程初值問題的數(shù)值解法-在線瀏覽
2025-07-18 07:53本頁面
【正文】 ? ?? ??????????1,1,0,10 nkyxhfyyyaykkkk?以上三種方法推導(dǎo)出同一個數(shù)值求解公式 : 這個數(shù)值公式稱為 歐拉 (Euler)公式。 歐拉方法 一、 歐拉格式： x0 x1 向前差商近似導(dǎo)數(shù) hxyxyxy )()()( 010???),()()()( 000001 yxfhyxyhxyxy ????? 1y記為 ?歐拉公式幾何意義 用一條通過初始點的折線近似表示解曲線 ,亦稱為 歐拉折線法 ， 或稱為 矩形法。 定義 若某算法的局部截斷誤差為 O(hp+1)， 則稱該算法有 p 階精度 。 ?局部截斷誤差和階數(shù) 1??? kk xx ?隱式歐拉格式 向后差商近似導(dǎo)數(shù) hxyxyxy )()()( 011??? x0 x1 )) ( , ( ) ( 1 1 0 1 x y x f h y x y ? ? ) 1 , ... , 0 ( ) , ( 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? n k y x f h y y k i i k 由于未知數(shù) yk+1 同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為 隱式 歐拉公式，而前者稱為 顯式 歐拉公式。 ? 隱式 歐拉法的局部截斷誤差： 11 )( ?? ?? kkk yxyR )(22 ?yh ????即隱式歐拉公式具有 1 階精度。 )(),( 11 kkkk xyyxyy ?? ?? 311( ) ( )k k kR y x y O h??? ? ?該方法需要 2個初值 y0和 y1來啟動遞推過程，這樣的算法稱為 雙步法 。但注意到該公式是 隱式 公式，計算時不得不用到迭代法 ，不易求解。 1kx ? (0)1ky?② 再用 (2)式反復(fù)進行迭代，得到 ( 1 ) ( 2 )11,kkyy??( 0 )1( 1 ) ( 0 )1 1 1( , )( , ) ( , )2k k k kik k k k k ky y h f x yhy y f x y f x y??? ? ?? ??????? ? ?? ???計算公式 (1) (2) 類似地得到 ③ 用 控制迭代次數(shù)， 為允許誤差。 ( 1 ) ( )11iikkyy ?????? ?( 1)1iky ?? ? ?1kyx?23,kkyy??方 法 ? ? 顯式歐拉法 隱式歐拉法 梯形公式 中點公式 簡單 精度低 穩(wěn)定性最好 精度低 , 計算量大 精度提高 計算量大 精度提高 , 顯式 多一個初值 , 可能影響精度 不同方法比較 四、 改進歐拉法（預(yù)報 校正法） Step 1: 先用 顯式 歐拉公式作 預(yù)報 ，算出 ) , ( 1 i i i i y x f h y y ? ? ? Step 2: 再將 代入 隱式 梯形公式的右邊作 校正 ，得到 1 ? i y )] , ( ) , ( [ 2 1 1 1 ? ? ? ? ? ? i i i i i i y x f y x f h y y ? ?? ? )1,...,0(),(,),(2 11 ?????? ?? niyxfhyxfyxfhyy iiiiiiii它可表示為嵌套形式 表示為平均化形式 ? ?? ?? ????????????????pcipiiciiipyyyyxhfyyyxhfyy21,11此法稱為 預(yù)報 校正法， 是 顯式算法 。 腳標用 i 舉例： 進行比較。 龍格 庫塔法 一、 泰勒級數(shù)法 龍格 — 庫塔 (RungeKut ta)法 (簡稱為 RK方法 )是一類高精度的一步法，這類方法與泰勒級數(shù)法有著密 切的關(guān)系。39。1 !!2)( ?? ?????? kkkkkkkk hxykhxyhxhyxyxy ?? 從理論上講，只要解 y(x)有任意階導(dǎo)數(shù)，泰勒展開方法就可以構(gòu)造 任意階 求 yk+1公式。 設(shè)有初值問題 ??????00 )())(,()(yxyxyxfxy二、 龍格－庫塔法的基本思路 ))(),()( hxyhxhfxy kkk ?? ????? ???? 1 ))(,()()( 1 kkxxkk dxxyxfxyxy等價于： （積分中值定理） RK方法基本思想： 用 在幾個不同點的加權(quán)平均值（線性組合）來代替準確的
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