數(shù)值分析第5章4-5節(jié)(編輯修改稿)
2025-02-15 08:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 個元素，可按行主序用一維數(shù)組存放， 2/)1( ?nn即 }.,,{)2/)1(( 21222111 nnnn aaaaaannA ?????矩陣元素 的 元素存放在 的相應位置 . ija L),2/)1(( jiiA ???A 用平方根法解對稱正定方程組時，需要用到開方運算 . 為了避免開方，用定理 10 25 ,TL DLA ?即 .1111112121212121????????????????????????????????????????????????????nnnnnllldddlllA由矩陣乘法， 并注意 得 ),(0,1 kjll jkjj ?????? nkkjikija1T )()( LLD ??? nkjkkik ldl1????? 11.jkjjjijjkkik ldlldl26 于是得到計算 的元素及 的對角元素公式： L D l. )。1,2,1(/11?????????? ?? ???ijdldlal jjkjkkikijij ?（ ） nj ,2,1 ?? 對于 2. .112????? ikkikiii dlad 為避免重復計算，引進 ,jijij dlt ?由 ()得到按行計算 元素的公式： TL,111 ad ?27 .,3,2 nj ?? 對于 1. )。1,2,1(11???? ???ijltat jkjkikijij ? 2. )。1,2,1(/ ??? ijdtl jijij ? 計算出 的第 行元素 后， LDT ? i)1,2,1( ?? ijt ij ?存放在 的第 行相應位置， iA 然后再計算 的第 行元素， L i存放在 的第 行 . A i 的對角元素存放在 的相應位置 . D A 3. ????? 11ikikikiii ltad（ ） 28 ???????????????44434241333231222111aaaaaaaaaa對稱A 對稱正定矩陣 按 分解和按 分解計算量差 分解不需要開方計算 . A TLDL TLLTLDL例如 ???????????????44434241332312211atttdlldld.4434241332312211???????????????dllldlldld29 5. ?????????????).1,2,1(/。/1?nixldyxdyxnikkkiiiinnn 4. ????????????).,2(。1111niylbybyikkikii ?（ ） 計算公式 ()， ()稱為 改進的平方根法 . 求解 計算公式 yxDLbLy ?? T,)。1,2,1(11???? ???ijltat jkjkikijij ?)。1,2,1(/ ??? ijdtl jijij ?????? 11ikikikiii ltad（ ） 30 追趕法 實際問題中，通常要求解系數(shù)矩陣為對角占優(yōu)的三對 ,12112111122211??????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnffffxxxxbacbacbacb?????（ ） 簡記為 .fAx ?其中，當 ：， 且時 ,01 ??? ijaji 0。 )a( 11 ?? cb31 )。1,3,2(0, )b( ????? nicacab iiiii ?0. )c( ?? nn ab 利用矩陣的直接三角分解法推導解三對角線方程組（ )的計算公式 . ,LUA ?其中 為下三角矩陣， 為單位上三角矩陣 . LU 由系數(shù)陣 的特點，可以將 分解為兩個三角陣的乘積， AA即 32 設 ????????????????????nnnnnbacbacbacb11122211???A（ ） ,11111221??????????????????????????????nnn???????????其中 為待定系數(shù) . iii ??? ,33 比較 ()兩邊得 , 11111 ??? ?? cb?????????? )1,2( nic iii ???（ ） 用歸納法可以證明 ),1,2,1(0 ???? nic ii ??（ ） 即 ,10 ??i?),2(, 1 niba iiiiii ????? ? ????,/0 0 1111111 bccbb ????? ?? ，由 得 .10 1 ?? ?從而由 ()可求出 i?,11111221??????????????????????????????nnn???????????A34 時由對角占優(yōu)的條件， ()是成立的 . 1?i 現(xiàn)設 ()對 成立，求證對 也成立 . 1?i i 由歸納法假設 又由 ()及 的對角占 優(yōu)條件，有 ,10 1 ?? ?i? A1??? iiii ab ??也就是 .10 ?? i? 由 ()得到 )。,2(1 niab iiii ???? ???1??? iii ab ? ii ab ?? ,0?? ic),1,2,1(0 ???? nic ii ??（ ） 35 確定了 ，就實現(xiàn)了 的 分解 . }{},{},{ iii ??? A LU).1,3,2()/( 1 ???? ? niabc iiiii ???求解 等價于求解兩個三角形方程組： ,fAx ?。,)1( yfLy 求?.,)2( xyUx 求? 解三對角線方程組的 追趕法公式 ： 1. 計算 的遞推公式 }{ i?111 /bc??)。1,3,2()/( 1 ???? ? niabc iiiii ???36 2. 解 fLy ?,/ 111 bfy ? 3. 解 yUx ?)。,3,2()/()( 11 niabyafy iiiiiii ????? ?? ?,nn yx ?稱計算系數(shù) 及 121 ???? n??? ? nyyy ??? ?21 稱計算方程組的解
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