數(shù)值分析第5章4-5節(jié)-在線瀏覽
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【正文】 335233213313333 ???????????? ululau從而 ,)72,10,14( T???y得 求解 .)3,2,1( T?x得 ????? ? 。,3,2(11niylby ikkikii ???? ???iinikkikii uxuyx /1?????? ?? ???（ ） ).1,2,1( ???? nni6 例 5 .201814513252321321???????????????????????????????xxx 解 用直接三角分解法解 用分解公式 ()— ()計(jì)算 ,11111 ?? au,11/2/ 112121 ??? ual,122512212222 ?????? ulau,21212 ?? au ,31313 ?? au，31/3/ 113131 ??? ual,432213212323 ??????? ulau,51/)231(/)( 2212313232 ??????? uulal)。,1,(11nrriulau rkkirkriri ????? ???（ ） .11rrirrkkrik ulul ?? ???.111222112112121?????????????????????????????nnnnnn uuuuuulll????????A （ ） 5 ③ )。1 矩陣三角分解法 直接三角分解法 將高斯消去法改寫為緊湊形式，可以直接從矩陣 的 元素得到計(jì)算 元素的遞推公式，而不需任何中間步驟， AUL, 一旦實(shí)現(xiàn)了矩陣 的 分解，那么求解 的問 A LU bAx ? ① 求 ,bLy ? 。y ② 求 ,yUx ? .x這就是 直接三角分解法 . 2 1. 不選主元的三角分解法 設(shè) 為非奇異矩陣，且有分解式 A,LUA ?.111222112112121?????????????????????????????nnnnnn uuuuuulll????????A （ ） 其中 為單位下三角陣， 為上三角陣，即 L U 的元素可以由 步直接計(jì)算定出，其中第 步 定出 的第 行和 的第 列元素 . UL, n rU r L r3 ；的第1 行元素得 U),2,1(11 niua ii ??? 設(shè)已經(jīng)定出 的第 1行到第 行元素與 的第 1列 到第 列元素 . U 1?r L1?r由 ()有 的第1 L),2(/, 11111111 niualula iiii ???? 由 ()，利用等式兩邊元素比較及當(dāng) 時(shí)， kr?,0?rkl有 ??? nkkirkri ula1.11rirkkirk uul ?? ???故 .111222112112121?????????????????????????????nnnnnn uuuuuulll????????A （ ） .111222112112121?????????????????????????????nnnnnn uuuuuulll????????A （ ） 4 ),1,(11nrriulau rkkirkriri ????? ???又由 ()有 ??? nkkrikir ula1 用直接三角分解法解 (要求 的所有順序主子式 都不為零 )的計(jì)算公式 . bAx ? A ① ),2(/),2,1( 111111 niualniau iiii ?? ???? 計(jì)算 的第 行和 的第 列元素 U r L r ).,3,2( nr ?? ② )。,1(/)( 11nrnriuulal rrrkkrikirir ????? ???且?（ ） 求解 的計(jì)算公式： yUxbLy ?? , ④ ????? ? ,11 by??????? ? ,/ nnnn uyx ⑤ （ ） )。,1,(11nrriulau rkkirkriri ????? ???（ ） )。11 by（ ） )。,1,(11nrriulau rkkirkriri ????? ???（ ） )。,1,(11nrriulau rkkirkriri ????? ???（ ） )。1?U。,1 ybLy 求?）（ 4. ).1,1,(/1????????? ?? ???nnilxlbx iinikkkiii 3. ).,2,1(/11nilylby iiikkikii ???????? ?? ???（ ） 由計(jì)算公式 1知 ),2,1(12 nila jkjkjj ??? ??所以 .,)2( T xyxL 求?23 },{m a x12 jjnjjjjk aal ????于是 }.{m a x}{m a x 12, jjnjjkkj al ??? 這個(gè)結(jié)果說明，分解過程中元素 jkl 恒為正數(shù) . jjl 當(dāng)求出 的第 列元素時(shí)， 行元素也算出 . L j TL j所以平方根法約需 次乘除法，大約為一般直接分解法計(jì)算量的一半 . 6/3n 于是不選主元素的平方根法是一個(gè)數(shù)值穩(wěn)定的方法 . 24 由于 為對(duì)稱陣，因此在計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)時(shí)只需存儲(chǔ) 的 下三角部分 . A A 下三角部分共需存儲(chǔ) 個(gè)元素，可按行主序用一維數(shù)組存放， 2/)1( ?nn即 }.,{)2/)1(( 21222111 nnnn aaaaaannA ?????矩陣元素 的 元素存放在 的相應(yīng)位置 . ija L),2/)1(( jiiA ???A 用平方根法解對(duì)稱正定方程組時(shí)，需要用到開方運(yùn)算 . 為了避免開方，用定理 10 25 ,TL DLA ?即 .1111112121212121????????????????????????????????????????????????????nnnnnllldddlllA由矩陣乘法， 并注意 得 ),(0,1 kjll jkjj ?????? nkkjikija1T )()( LLD ??? nkjkkik ldl1????? 11.jkjjjijjkkik ldlldl26 于是得到計(jì)算 的元素及 的對(duì)角元素公式： L D l. )。1,2,1(11???? ???ijltat jk
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