【正文】 上頁(yè) 下頁(yè) 第 4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 ? 數(shù)值積分概論 ? 牛頓 — 柯特斯公式 ? 復(fù)合求積公式 ? 龍貝格求積公式 ? 自適應(yīng)求積方法 ? 高斯求積公式 ? 多重積分 ? 數(shù)值微分 本章基本內(nèi)容 上頁(yè) 下頁(yè) 進(jìn)行計(jì)算，但在工程計(jì)算和科學(xué)研究中，經(jīng)常會(huì)遇到被積函數(shù) f(x)的下列一些情況： 的原函數(shù) )()(d)( aFbFxxfI ba ??? ?對(duì)定積分 ?? ba xxfI d)( 的被積函數(shù) )(xf已知，在高等數(shù)學(xué)中可用牛頓 — 萊布尼茲公式 )(xF 數(shù)值積分概論 實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中常常要計(jì)算積分，有些數(shù)值方法，如微分方程和積分方程的求解，也都和積分計(jì)算相聯(lián)系 . 數(shù)值求積的基本思想 上頁(yè) 下頁(yè) （ 4） f(x)本身沒(méi)有解析表達(dá)式，其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形給出，列如為實(shí)驗(yàn)或測(cè)量數(shù)據(jù) . xxxexxf x s i ns i nln1)( 22 , , , ??（ 2） f(x)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)形式表示，例如 411)(xxf??（ 3） f(x)的原函數(shù)雖然可用初等函數(shù)形式表示，但其原函數(shù)表示形式相當(dāng)復(fù)雜，例如 cbxaxxf ??? 2)(（ 1） f(x)復(fù)雜，求原函數(shù)困難，列如 上頁(yè) 下頁(yè) 以上的 4種情況都不能用牛頓 — 萊布尼茲公式方便地計(jì)算該函數(shù)的定積分，滿足不了實(shí)際需要，因此，有必要研究定積分的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題；另外，對(duì)一些函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，其求導(dǎo)、微分也相當(dāng)復(fù)雜，也有必要研究求導(dǎo)、微分的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。本章主要介紹數(shù)值求積分和數(shù)值求微分的方法。 上頁(yè) 下頁(yè) 由積分中值定理 , 對(duì)連續(xù)函數(shù) f(x), 在區(qū)間 [a, b]內(nèi)至少存在一點(diǎn) ?，使 ? ??? ba fabxxfI )()(d)( ?只要對(duì)平均高度 f(?) 提供一種 近似算法 , 便可相應(yīng)地獲得一種 數(shù)值求積方法 . 即所謂 矩形公式 . xyOa b? ?fx? ?f ??上頁(yè) 下頁(yè) 例如 , 用區(qū)間 [a, b]兩端點(diǎn)的函數(shù)值 f(a)與 f(b)的算術(shù)平均值作為 f(?) 的近似值 , 可導(dǎo)出 求積公式 ( ) d [ ( ) ( ) ] ( 1 . 1 )2babaI f x x f a f b?? ? ??這便是人們所熟知的 梯形公式 . xyOa b? ?fx? ?fa? ?fb上頁(yè) 下頁(yè) 如果改用區(qū)間 [a, b]的中點(diǎn) c=(a?b)/2 處的函數(shù)值f(c)近似代替 f(?), 則又可導(dǎo)出所謂 (中 )矩形公式 ( ) d ( ) ( 1 . 2)2baabI f x x b a f ???? ? ??????xyOa b? ?fx2abf ???????2ab?上頁(yè) 下頁(yè) 一般地 , 在區(qū)間 [a, b]上適當(dāng)選取點(diǎn) xk (k=0,1,?,n), 然后用 f(xk) 的 加權(quán)平均值 作為 f(?) 的近似值 , 可得到更為 一般的求積公式 其中：點(diǎn) xk叫 求積節(jié)點(diǎn) , 系數(shù) Ak叫 求積系數(shù) . Ak僅與節(jié)點(diǎn) xk的選取有關(guān) , 而與被積函數(shù) f(x)無(wú)關(guān) . 求積公式的 截?cái)嗾`差 為 )(d)()(0kbankkn xfAxxfIIfR ? ?????? R(f) 又稱為 求積余項(xiàng) . 0( ) ( ) d ( ) ( 1 . 3 )nbk k nakI f f x x A f x I?? ? ??? 這類數(shù)值積分方法通常稱為 機(jī)械求積 ，其特點(diǎn)是將積分求值問(wèn)題歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算，這就避開(kāi)了牛 萊公式尋求原函數(shù)的困難 . 上頁(yè) 下頁(yè) 代數(shù)精度的概念 定義 1 如果求積公式 ? ???? bankkk xfAxxfI0)(d)((1) 對(duì)所有次數(shù)不超過(guò) m的多項(xiàng)式都精確成立； (2) 至少對(duì)一個(gè) m+1次多項(xiàng)式不精確成立， 則稱 該公式具有 m次代數(shù)精度 (或 代數(shù)精確度 ). 數(shù)值求積方法的近似方法，為要保證精度，我們自然希望求積公式能對(duì)“ 盡可能多 ”的函數(shù)準(zhǔn)確地成立，這就提出了所謂代數(shù)精度的概念 . 上頁(yè) 下頁(yè) 一般來(lái)說(shuō)，代數(shù)精度越高，求積公式越好。 結(jié)論 一個(gè)求積公式具有 m次代數(shù)精度的 充要條件 是該求積公式 : (1) 對(duì) xk(k=0,1,…,m )精確成立； (2) 對(duì) xm+1不精確成立 . 故一般地，要驗(yàn)證一個(gè)求積公式具有 m次代數(shù)精度，只要令對(duì)于 f(x)=1, x, ?, xm求積公式精確成立等式就行 . 上頁(yè) 下頁(yè) 即對(duì)于求積公式 給定 n+1個(gè)互異的求積節(jié)點(diǎn) x0 , x1,?, xn1, xn , 令求積公式對(duì) f(x)=1, x, ?, xn 精確成立 ,即得 01220 0 1 1110 0 1 12( 1. 4 )1nnnnnn n nnnA A A b abaA x A x A xbaA x A x A xn??? ? ? ? ?????? ? ? ??????? ? ? ? ???求解該方程組即可確定求積系數(shù) Ak, 所得到的求積公式 至少具有 n 次代數(shù)精度 . nkbankk IxfAxxfI ??? ? ??)(d)(0上頁(yè) 下頁(yè) 解 當(dāng) f (x)=1時(shí) , 1 d ,ba x b a? ? ??左[ 1 1 ] ,2ba ba?? ? ? ?右 此時(shí)公式精確成立。 例 1 驗(yàn)證梯形公式 )]()([2d)( bfafabxxfI ba ???? ?具有一次代數(shù)精度。 當(dāng) f(x)=x時(shí)， ? ?221d 2ba x x b a? ? ??左22[]22b a b aab??? ? ?右公式也精確成立 . 當(dāng) f(x)= x2 時(shí)， ? ?2 3 31d 3ba x x b a? ? ??左22[ ],2ba ab???右公式對(duì) x2不精確成立 . 故由定理 1知 , 梯形公式的代數(shù)精度為 1次 . 上頁(yè) 下頁(yè) 例 2 確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度 . )()()(d)( hfAfAhfAxxfI h h 102 2 1 0 ????? ?? ? 解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式兩端并令其相等，得 ????????????????????????????hAAhhAhAAAhAhAhAAA31623200411321211111101)()()( 解得 hAhAA 3438 011 ????? ,上頁(yè) 下頁(yè) 得 求積公式 為 令 f (x)=x3，得 )()()(d)( hhfhfhhfxxfI hh 380343822????? ??0380 33223 ????? ??])[(d hhhxxhh令 f (x)=x4，得 544224531638564 hhhhxxh hh????? ??])[(d故 求積公式 具有 3次代數(shù)精度 . 上頁(yè) 下頁(yè) 如果我們事先選定求積節(jié)點(diǎn) xk，譬如，以區(qū)間[a, b]的等距分點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，這時(shí)取 m=n求解方程組即可確定求積系數(shù) Ak，而使求積公式至少具有 n次代數(shù)精度 . 本章第 2節(jié)介紹這樣一類求積公式，梯形公式是其中的一個(gè)特例 . 如為了構(gòu)造出上面的求積公式，原則上是一個(gè)確定參數(shù) xk和 Ak的代數(shù)問(wèn)題 . 方程組 ()實(shí)際上是一2n+2個(gè)參數(shù)的非線性方程組，此方程組當(dāng) n1時(shí)求解非常困難，但當(dāng) n=0及 n=1的情形還是可以通過(guò)求解方程組得到相應(yīng)的求積公式 . 下面對(duì) n=0討論求積公式的建立及代數(shù)精確度 . 上頁(yè) 下頁(yè) 此時(shí)求積公式為 00( ) ( ) d ( ) ,baI f f x x A f x???其中， x0及 A0為待定參數(shù) . 根據(jù)代數(shù)精確度定義可令 f(x)=1, x，由方程組知 . 022001()2A b aA x b a?????????得 001, ( ) .2A b a x a b? ? ? ?得到的求積公式就是 ()式的中矩形公式 . 再令f(x)=x2，代入 ()式的第三式 上頁(yè) 下頁(yè) 22 2 2 3 3001( ) ( ) ( ) .2 4 3baa b b aA x b a a b x d x b a????? ? ? ? ? ? ????? ?說(shuō)明 ()式對(duì) f(x)=x2不精確成立，故它的代數(shù)精確度為 1. 方程組 ()是根據(jù) ()式的求積公式得到的，按照代數(shù)精確度的定義，如果求積公式中除了 f(xi)還有 ??(x)在某些節(jié)點(diǎn)上的值，也同樣可得到相應(yīng)的求積公式 . 上頁(yè) 下頁(yè) 例 1 給定形如下面的求積公式，試確定系數(shù) A0, A1, B0,，使公式具有盡可能高的代數(shù)精確度 . 10 1 00 ( ) d ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) .f x x A f A f B f ?? ? ?? 解 根據(jù)題意可令 f(x)=1, x, x2分別代入求積公式使它精確成立： 1010110012101 d 1 。1d。21d.3A A xA B x xA x x?? ? ????? ? ???????????上頁(yè) 下頁(yè) 解得 0 1 02 1 1, , .3 3 6A A B? ? ?102 1 1( ) d ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) .3 3 6f x x f f f?? ? ??當(dāng) f(x)=x3時(shí)，上式右端為 1/3，而左端是 于是有求積公式 故積分公式對(duì) f(x)=x3不精確成立，其代數(shù)精確度為 2. 1 301d4xx ??上頁(yè) 下頁(yè) 插值型的求積公式 設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn) bxxxxa nn ?????? ? 110 ?且已知 f(x)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值 f(xk), 則可求得 f(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式 (因?yàn)?Ln(x)的原函數(shù)易求 ) ???nkkkn xlxfxL0)()()(其中 lk(x)為插值基函數(shù) , 取 0( ) d ( ) ( )( ( ) d 0, 1 , , ) ( )nbk k nakbkkaI f x x A f x IA l x x k n?? ? ??????由上式確定系數(shù)的公式稱為 插值型求積公式 . xxLxxf ba nba d)(d)( ?? ?即 則 f (x)?Ln(x) 上頁(yè) 下頁(yè) 插值型求積公式積分法幾何表示 上頁(yè) 下頁(yè) 由插值余項(xiàng)定理 , 其求積余項(xiàng)為 ( ) [ ( ) ( ) ] d ( ) ( 1. 7 )bbn n naaR f I I f x L x x R x dx? ? ? ? ???( 1 )0() ( ) d( 1 ) !n nbkakf x x xn?????? ?? 其中 ?=?(x) 如果求積公式 ()是插值型的，按照插值余項(xiàng)式子，對(duì)于次數(shù)不超過(guò) n的多項(xiàng)式 f(x)，其余項(xiàng) R(f )等于零，因而 這時(shí)求積公式至少具有 n次代數(shù)精度 . 上頁(yè) 下頁(yè) 反之，如果求積公式至少具有 n次代數(shù)精度，則它必定是插值型的 . 事實(shí)上，這時(shí)求積公式對(duì)于插值基函數(shù) lk(x)應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有 0( ) ( ) .nbk j k j kajl x d x A l x A?????注意到 lk(xj)= ?kj，上式右端實(shí)際上即等于 Ak，因而下面式子成立 . .,1,0d)( nkxxlA ba kk ??? ?上頁(yè) 下頁(yè) 定理 1 具有 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值求積公式 () ? ???? ban