【正文】 ( ) .nnn n k k kknnk k kknnkkI f I f b a C f x fb a C f x fb a C b a?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ????特別地，假定 ,~)(,0)~)(()( ????? kkkknk fxffxfC 且則有 這表明在 ba1時(shí)，初始誤差將會(huì)引起計(jì)算結(jié)果誤差增大，即計(jì)算不穩(wěn)定，故 n 7的 牛頓 柯特斯公式 是不用的 . 上頁(yè) 下頁(yè) 偶階求積公式的代數(shù)精度 作為插值型求積公式， n階 牛頓 柯特斯公式 至少具有 n次代數(shù)精度 (推論 1). 實(shí)際的代數(shù)精度能否進(jìn)一步提高呢？ 先看 辛普森公式 ，它是二階 牛頓 柯特斯公式 ，因此至少具有二次代數(shù)精度 . 進(jìn)一步用 f(x)=x3進(jìn)行檢驗(yàn)，按 辛普森公式 計(jì)算得 .246333??????????????? ???? bbaaabS上頁(yè) 下頁(yè) .246333??????????????? ???? bbaaabS另一方面，直接求積得 .4443 abdxxI ba??? ?這時(shí)有 S=I，即 辛普森公式 對(duì)不超過(guò)三次的多項(xiàng)式均能精確成立，又容易驗(yàn)證它對(duì) f(x)=x4通常是不精確的 (如取 a=0,b=1進(jìn)行驗(yàn)證有， S=5/24≠I=1/5)，因此，辛普森公式 實(shí)際上 具有三次代數(shù)精度 . 一般地，我們可以證明下述論斷： 上頁(yè) 下頁(yè) 定理 3 n 階牛頓 柯特斯公式的代數(shù)精度至少為 證明 由定理 1已知，無(wú)論 n為奇數(shù)或偶數(shù)，插值型求積公式都至少具有 n次代數(shù)精度 . 因此我們證明n為偶數(shù)的情形，即對(duì) n+1次多項(xiàng)式余項(xiàng)為零 . 令 n=2k， 設(shè) ???? ?101 )(nkkkn xaxq為任一 n+1次多項(xiàng)式，其最高次系數(shù)為 an+1，則它的n+1階導(dǎo)數(shù)為 )!1()( 1)1( 1 ?? ??? naxq nnn??? ??為奇數(shù)當(dāng)為偶數(shù)當(dāng)nnnnm.,1上頁(yè) 下頁(yè) 由余項(xiàng)公式 .)()!1( )()()!1( )(][)1(0)1(dxxnfdxxxnffR bannkkban??? ??? ????????? ?( 1 )11 1 0 12210R [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !( 1 ) ( 2 ) ( )nbbnn n naaknnq ξq x x dx a x x x x x x dxna h t t t t n dt???????? ? ? ? ??? ? ? ????有 這里變換為 x=a+th，注意 xj=a+jh. 下面我們證明 20( 1 ) ( 2) ( ) 0kt t t t n d t? ? ? ??上頁(yè) 下頁(yè) 作變換 u=tk，則 20( 1 ) ( 2) ( ) 0kt t t t n d t? ? ? ??20( 1 ) ( ( 1 ) ) ( ) ( ( 1 ) ) ( ( 2 1 ) ) ( 2 )( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )kkkt t t k t k t k t k t k d tu k u k u u u u k u k d u?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )u u k u k u u u u k u k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?記容易驗(yàn)證 Ψ(u)為奇函數(shù)，即 Ψ(u)=Ψ(u)，而奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分為零，所以 ..0)]([ 1 證畢?? xqR n上頁(yè) 下頁(yè) 定理 3說(shuō)明，當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，牛頓 柯特斯公式對(duì)不超過(guò) n+1次的多項(xiàng)式均能精確成立，因此，其代數(shù)精度可達(dá)到 n+，當(dāng) n=2k與n=2k+1時(shí)具有相同的代數(shù)精度，因而在實(shí)用中常采用 n為偶數(shù)的牛頓 柯特斯公式，如拋物形公式(n=2)等 . 上頁(yè) 下頁(yè) ( 4 )[ ] ( ) , ( , ) .R f K f a b???? 對(duì)牛頓 柯特斯求積公式通常只用 n=1,2,4時(shí)的三個(gè)公式， n=1時(shí)即為梯形公式 (), 其余項(xiàng)為 ()式 . n=2時(shí)即為辛普森公式 (),其代數(shù)精度為 3，可以證明余項(xiàng)可表示為 45 5 4 44511( ) 44 ! 5 6 21 ( ).4 ! 1 2 0 1 8 0 2b a a bK b a a bb a b a b a?? ?????? ??? ? ? ? ??? ?? ??????????? ? ???? ? ? ? ????其中 K由 ()式及 ()式可得 辛普森公式的余項(xiàng) 上頁(yè) 下頁(yè) 4 ( 4 )()[ ] ( ) ( ) , ( , ) . ( 2 .5 )1 8 0 2b a b aR f f a b????? ? ?從而可得 辛普森公式 ()的余項(xiàng) 為 ( 4 )2()[ ] ( ) ( ) ( ) .4!bafR f x a x c x b dx?? ? ? ??4 ( 4 )() ( ) ( ) , ( , ) .1 8 0 2b a b a f a b????? ? ?也可直接積分計(jì)算得到 對(duì) n=4的柯特斯公式 ()，其代數(shù)精度為 5。上頁(yè) 下頁(yè) 第 4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 ? 數(shù)值積分概論 ? 牛頓 — 柯特斯公式 ? 復(fù)合求積公式 ? 龍貝格求積公式 ? 自適應(yīng)求積方法 ? 高斯求積公式 ? 多重積分 ? 數(shù)值微分 本章基本內(nèi)容 上頁(yè) 下頁(yè) 進(jìn)行計(jì)算，但在工程計(jì)算和科學(xué)研究中，經(jīng)常會(huì)遇到被積函數(shù) f(x)的下列一些情況： 的原函數(shù) )()(d)( aFbFxxfI ba ??? ?對(duì)定積分 ?? ba xxfI d)( 的被積函數(shù) )(xf已知，在高等數(shù)學(xué)中可用牛頓 — 萊布尼茲公式 )(xF 數(shù)值積分概論 實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中常常要計(jì)算積分，有些數(shù)值方法，如微分方程和積分方程的求解，也都和積分計(jì)算相聯(lián)系 . 數(shù)值求積的基本思想 上頁(yè) 下頁(yè) （ 4） f(x)本身沒(méi)有解析表達(dá)式，其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形給出，列如為實(shí)驗(yàn)或測(cè)量數(shù)據(jù) . xxxexxf x s i ns i nln1)( 22 , , , ??（ 2） f(x)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)形式表示，例如 411)(xxf??（ 3） f(x)的原函數(shù)雖然可用初等函數(shù)形式表示，但其原函數(shù)表示形式相當(dāng)復(fù)雜，例如 cbxaxxf ??? 2)(（ 1） f(x)復(fù)雜，求原函數(shù)困難，列如 上頁(yè) 下頁(yè) 以上的 4種情況都不能用牛頓 — 萊布尼茲公式方便地計(jì)算該函數(shù)的定積分，滿足不了實(shí)際需要，因此，有必要研究定積分的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題；另外，對(duì)一些函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，其求導(dǎo)、微分也相當(dāng)復(fù)雜，也有必要研究求導(dǎo)、微分的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。故類似于求 ()式的余項(xiàng)可得到 柯特斯公式的余項(xiàng) 為 6 ( 6 )2 ( )[ ] ( ) ( ) , ( , ) . ( 2 .6 )9 4 5 4b a b aR f f a b????? ? ?上頁(yè) 下頁(yè) 解 ： 由梯形公式得 221 0 . 6 1 1[ ] 0 . 2 4 7 0 5 8 82 1 0 . 6 1 1IT?? ? ? ???由辛普森公式得 2 2 21 0 . 6 1 1 1[ 4 ] 0 . 2 4 4 9 5 4 66 1 0 . 6 1 0 . 8 1 1IS?? ? ? ? ? ?? ? ? 例題 分別用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式計(jì)算積分 120 . 61 d1Ixx? ??上頁(yè) 下頁(yè) 由柯特斯公式得 11213217[90222 ??????????? CI22113 2 7 ] 0 . 2 4 4 9 7 8 71 0 . 9 1 1? ? ? ? ???積分的精確值 24 497 86 c t and1 111 2 ???? ? xxxI上頁(yè) 下頁(yè) 復(fù)合求積公式 從求積公式的余項(xiàng)的討論中我們看到，被積函數(shù)所用的插值多項(xiàng)式次數(shù)越高，對(duì)函數(shù)光滑性的要求也越高 . 另一方面，插值節(jié)點(diǎn)的增多 (n的增大 )，在使用牛頓 柯特斯公式時(shí)將導(dǎo)致求積系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù) (當(dāng) n≥8時(shí) , 牛頓 柯特斯求積系數(shù)會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù) )，即牛頓 柯特斯公式是不穩(wěn)定的，不可能通過(guò)提高階的方法來(lái)提高求積精度 . 上頁(yè) 下頁(yè) 為了提高精度，通常在實(shí)際應(yīng)用中往往采用 將積分區(qū)間劃分成若干個(gè)小區(qū)間，在各小區(qū)間上采用低次的求積公式 (梯形公式或拋物形公式 )，然后再利用積分的可加性，把各區(qū)間上的積分加起來(lái)，便得到新的求積公式，這就是 復(fù)合求積公式 的基本思想 . 為敘述方便，我們僅討論各小區(qū)間均采用同一低次的求積公求積公式，也可推出新的求積公式，讀者可按實(shí)際問(wèn)題的具體情況討論 . 上頁(yè) 下頁(yè) 將積分區(qū)間 [a, b]n等分 , 步長(zhǎng) n abh ?? xk=a+kh (k=0,1,…, n) , 則由定積分性質(zhì)知 110( ) d ( ) dkknbxax kI f x x f x x????? ???, 分點(diǎn)為 每個(gè)子區(qū)間 上的積分 用 低階求積公式 , 然后把所有區(qū)間的 計(jì)算結(jié)果求和 ,就得到整個(gè)區(qū)間上積分 I的近似值。1d。本章主要介紹數(shù)值求積分和數(shù)值求微分的方法。 1 ( ) dkkxx f x x?? 所用方法 : 上頁(yè) 下頁(yè) 復(fù)合梯形公式 110( ) d ( ) dkknbxax kI f x x f x x????? ???每個(gè)子區(qū)間 [xk, xk+1]上的積分用 梯形公式 (), 得 11( ) d [ ( ) ( )]2kkxkkxhf x x f x f x?????111100( ) d [ ( ) ( ) ] ( ) . ( 3 . 1 )2kknn xk k nxkkhI f x x f x f x R f??????? ? ? ???? 將積分區(qū)間 [a, b]劃分為 n等分 , 則 得到 上頁(yè) 下頁(yè) 11101[ ( ) ( ) ] [ ( ) 2 ( ) ( ) ] . ( 3 . 2 )22nnn k k kkkhhT f x f x f a f x f b?????? ? ? ? ???稱為 復(fù)合梯形公式 ，其余項(xiàng)可由 ()式得 記 3110( ) [ ( ) ] , ( , )12nn n k k kkkhR f I T f x x???????? ? ? ? ??由于存在 f(x)?C2[a,b]，且 101 0101m in ( ) ( ) m ax ( ) ,nk k kkn knkf f fn? ? ????? ?????? ?? ?????所以存在 η?(a,b)使 101( ) ( ) .nkkffn? ????? ??? ?于是 復(fù)合梯形公式的余項(xiàng) 為 2( ) ( ) . ( 3 .3 )12nbaR f h f ?? ????上頁(yè) 下頁(yè) 當(dāng) n→∞ 時(shí)，上式右端括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)和式均收斂到函數(shù)的積分，所以復(fù)合梯形公式收斂 . 此外， Tn的求積系數(shù)均為正，由定理 2知復(fù)合梯形公式是穩(wěn)定的 . .)(lim ???? bann dxxfT 可以看出誤差是 h2階，且由誤差公式得到，當(dāng)f(x)?C2[a, b] 時(shí)，則有 即復(fù)合梯形公式是收斂的 . 事實(shí)上只要 f(x)?C[a, b], 則可得到收斂性，因?yàn)橹灰?Tn改寫為 .)()(21110?????? ???? ?????nkk